6. Нелинейность дифференциальных уравнений от.

В законах структуры и ее симметрии обращает на себя внима­ние удивительно симметричная, простая и удобная форма записи соответствующих дифференциальных уравнений. По-видимому, только такая форма и способна наиболее эффективно отразить все многообразие существующих в природе явлений структурной симметрии. Однако симметричная форма основ­ных уравнений может навести на неверную мысль о том, что в них каждое данное свойство (Р , А , В , С , D и т.д.) линейно (в первой степени) зависит от всех экстенсоров и свойств более высоких порядков, а сами уравнения являются линейными дифференциальными уравнениями.

Действительно, надо отдавать себе ясный отчет в том, что эта линейность является кажущейся. На самом деле в общем случае обсуждаемые дифференциальные уравнения в частных производных с математической точки зрения далеко не линейны из-за тех связей, которые имеются между упомянутыми свой­ствами и экстенсорами. Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить в уравнения (54) значения свойств А , В и С из выражений (55), (56), (73), (74), (80) и (81) и принять во внимание, что приращения аргументов (экстенсоров) в дей­ствительности зависят от приращений интенсиалов. Это послед­нее обстоятельство выясняется при выводе уравнения пятого начала ОТ. В результате множители при производных от неиз­вестных функций Ρ содержат сами эти неизвестные функции и уравнения оказываются нелинейными.

Следовательно, симметричная (по виду линейная) форма записи уравнений еще не означает линейности самих уравне­ний. Благодаря существенной нелинейности дифференциальных уравнений математический аппарат ОТ приобретает исключи­тельные гибкость и универсальность [21, с.55]. Это замечание в равной мере относится к уравнениям всех семи начал ОТ.

Принятая симметричная форма записи уравнений не случай­на. Она потребовалась для того, чтобы специально выделить в уравнениях те их части, то есть те свойства А , В , С , D и т.д., которые подчиняются законам симметрии структуры типа (86), (88), (89) и т.д. При другой форме записи было бы зна­чительно труднее установить эти законы [ТРП, стр.133].

7. Идеальная система.

Нелинейные дифференциальные уравнения ОТ становятся линейными лишь в отдельных частных случаях, например когда свойства А в уравнениях типа (54) оказываются вели­чинами постоянными, при этом структуры В , С , D и т.д. обращаются в нуль. Систему, обладающую такими свойствами, будем называть идеальной.

Существует много различных определений понятия идеаль­ной системы, из них логически оправданными можно считать два. Первое предполагает отсутствие в системе трения. Это понимание сыграло в науке свою положительную роль. Однако такого рода идеализация большого интереса для нас не пред­ставляет, ибо в ОТ сформулирован всеобщий закон диссипа­ции - седьмое начало, поэтому пренебречь трением значит пренебречь одним из важнейших законов природы, то есть вместе с водой выплеснуть из ванны и ребенка.

Второе определение к идеальным относит системы, у кото­рых физические коэффициенты типа А , К и т.д. не зависят от экстенсоров и, следовательно, являются величинами посто­янными. Именно такое определение мы будем использовать в качестве основного. Преимущество его заключается в том, что математический аппарат исследования предельно упро­щается, вместе с тем все главные свойства системы, харак­теризуемые началами ОТ, не выпадают из поля зрения иссле­дователя. Этого рода идеализация является значительно более общей и важной для теории и практики, чем первая; в частности, она позволяет крайне упростить изучение реальных систем с трением. Вторая идеализация, как и начала ОТ, может быть применена к любому количественному уровню мироздания (нано-, микро-, макро- и т.д.) и любому агрегат­ному состоянию системы (твердому, жидкому, газообразному).

Разумеется, в действительности не существует идеальных систем, они являются предельной абстракцией. Однако в пер­вом приближении допущение о постоянстве свойств типа А , К и т.д. сделать часто возможно. Возникающая в расчетах ошибка будет тем меньше, чем ближе реальная система подходит по своим свойствам к идеальной.

В качестве простейшего примера проинтегрируем диффе­ренциальное уравнение состояния (54) применительно к иде­альной системе (А = const; n = 2). Имеем

Р₁ = А₁₁Е₁ + А₁₂Е₂ (92)

Р₂ = А₂₁Е₁ + А₂₂Е₂

где

А₁₂ = А₂₁

Постоянные интегрирования положены равными нулю, так как при Е = 0 интенсиал системы Р = 0, что прямо следует из свойств парена (см. параграф 1, гл. XVII).

В условиях одной степени свободы (A = const; n = l) из дифференциального уравнения (58) с учетом равенства (60) получаем

Р = АЕ ; Е = КР (93)

Из уравнений (92) видно, что каждый интенсиал зависит от всех полных экстенсоров системы, при этом сохраняется симметрия во взаимном влиянии степеней свободы. Из выра­жения (93) следует, что у идеальной системы интенсиал про­порционален экстенсору, например, электрический потенциал пропорционален электрическому заряду, температура - энтро­пии, сила - деформации (закон Гука), момент силы - углу закручивания и т.д.; в трех последних примерах использованы не истинно простые, а условно простые экстенсоры (см. пара­графы 5, 9 и 16 гл. XV) [ТРП, стр.133-135].

Глава ХI. Пятое начало ОТ.