4. Показники варіації варіаційних ознак

Варіація, тобто коливання, мінливість будь-якої ознаки, є невід’ємною властивістю статистичної сукупності.

Для виміру та оцінки варіації (ступеня мінливості ознаки) використовують систему абсолютних та відносних характеристик. До абсолютних характеристик належать: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення та дисперсія.

Розмах варіації R – це різниця між найбільшим (Х _max) і найменшим (Х _min) значеннями ознаки:

R = Х _max – Х _min.

Якщо сукупність згрупована в інтервальний варіаційний ряд, то , де та – відповідно нижня та верхня межі першого та останнього інтервалів. При цьому ширина незамкненого інтервалу вважається рівною ширині сусіднього інтервалу.

Середнє лінійне відхилення являє собою середню відстань між середньою даної сукупності та окремими значеннями даної ознаки.

Дисперсія є універсальним показником ступеня варіації і являє собою середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки X від середньої .

Середнє квадратичне відхилення обчислюється як квадратний корінь з дисперсії і являє собою середню квадратичну відстань між середньою даної сукупності та окремими значеннями даної ознаки X.

Формули для обчислення трьох останніх показників варіації залежать від форми задання вихідних даних і наведені в табл. 4.1:

Таблиця 4.1

Деякі абсолютні показники варіації

Назва показника	Розрахункова формула
	Проста форма (для вихід­ної сукупності та звичай­ного варіаційного ряду)	Зважена форма (для дискретного та інтервального варіаційних рядів)
Середнє лінійне відхилення
Дисперсія
Середнє квадратичне відхилення
Позначення: – обсяг сукупності, – варіанти вихідної сукупності або звичайного варіаційного ряду, – і-та варіанта дискретного варіаційного ряду або середина і-го інтервалу інтервального варіаційного ряду, – середня вихідної сукупності або звичайного варіаційного ряду; – середня дискретного або інтервального варіаційного ряду; – частота (частка) i-ї варіанти дискретного варіаційного ряду або i-го інтервалу інтервального варіаційного ряду; m – кількість груп (кількість різних варіант дискретного варіаційного ряду або інтервалів інтервального варіаційного ряду).

Абсолютні показники варіації з певних причин часто непридатні для порівняння величини варіації в різних сукупностях або для різних ознак. Для розв’язання таких задач застосовуються відносні числові характеристики варіації, які можуть виражатись відношенням або у відсотках. До них належать:

• коефіцієнт осциляції: або ;

• лінійний коефіцієнт варіації: ;

• квадратичний коефіцієнт варіації: або .

Основними показниками варіації вважаються середнє квадратичне відхилення та квадратичний коефіцієнт варіації . Величину варіації для різних сукупностей або різних ознак порівнюють так: більшому значенню показника варіації відповідає більша варіація.

Необхідно зауважити, що обчислення і використання відносних показників варіації може бути з певних причин некоректним, якщо варіанти сукупності, що вивчається, мають різні знаки. У цьому випадку вибір показника варіації для порівняння її величини в різних сукупностях залишається за дослідником.

Якщо дані подано у вигляді аналітичного групування, то можна обчислити загальну, міжгрупову та групові дисперсії.

Загальна дисперсія вимірює варіацію ознаки Y для всієї сукупності під впливом усіх факторів, що зумовлюють цю варіацію:

,

де n – обсяг сукупності, – варіанти, – загальна середня.

Міжгрупова дисперсія характеризує систематичну варіацію, тобто відмінності у величині досліджуваної ознаки, які виникають під впливом фактора, що покладений в основу групування. Інакше кажучи, міжгрупова дисперсія характеризує частину загальної варіації ознаки Y, пов’язану з варіацією групувальної (тобто факторної) ознаки:

, (4.1)

де f_k – частота k-ї групи, m – кількість груп, – середня k-ї групи.

Варіацію ознаки Y в кожній k-й групі досліджуваної сукупності відображає групова дисперсія

, (4.2)

де – варіанти вихідної сукупності, що належать k-й групі.

Середня з групових дисперсій виражає ту частину загальної варіації ознаки Y, яка є результатом впливу інших, тобто не групувальних, факторів:

. (4.3)

Для вищенаведених величин має місце правило додавання дисперсій:

.

Правило додавання дисперсій дозволяє визначити, яка частка в загальній дисперсії ознаки X припадає на дисперсію, зумовлену варіацією ознаки X, що покладена в основу групування. Величина

(4.4)

називається кореляційним відношенням і є числовою мірою щільності та іс­тотності зв’язку між досліджуваною ознакою Y та групувальною ознакою X.

Очевидно, що і чим більше значення , тим щільніший зв’язок, і навпаки. Будемо вважати зв’язок щільним для ; помірним для ; слабким для .

Приклад 4.1. Розподіл торговельних фірм за розміром місячного товарообігу характеризується такими даними:

Товарообіг, млн. грн.	5 – 10	10 – 15	15 – 20	20 – 25	25 – 30	30 – 35	35 – 40	Разом
Кількість фірм	4	6	16	36	24	10	4	100

Обчислити всі абсолютні та відносні показники варіації і зробити висновки.

Розв’язання. Вихідні дані наведено у вигляді інтервального варіаційного ряду. Тоді розмах варіації обчислюємо за формулою:

 млн. грн.

Проведемо надалі допоміжні обчислення в таблиці:

і
1 2 3 4 5 6 7	5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 – 35 35 – 40	7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5		4 6 16 36 24 10 4		30 75 280 810 660 325 150		–15,8 –10,8 –5,8 –0,8 4,2 9,2 14,2		63,2 64,8 92,8 28,8 100,8 92,0 56,8		998,56 699,84 538,24 23,04 423,36 846,40 806,56
Разом			100		2330		Х		499,2		4336,00

Середній розмір товарообігу за місяць обчислимо за відповідною формулою для інтервального варіаційного ряду (див. табл. 3.1):

 млн. грн.

Для обчислення абсолютних показників варіації скористаємося відповідними формулами з табл. 4.1:

 млн. грн.;

;

 млн. грн.

За результатами проведених обчислень можна зробити такі висновки. Середній товарообіг фірм за місяць становить 23,3 млн. грн., а різниця між максимальним і мінімальним розмірами товарообігу дорівнює 35 млн. грн. Товарообіг фірм відрізняється від середнього товарообігу в середньому на 4,99 млн. грн. З обчисленої величини середнього квадратичного відхилення можна також зробити висновок, що місячний товарообіг фірм у середньому відрізняється від середнього товарообігу на 6,58 млн. грн.

Обчислимо відносні характеристики варіації:

коефіцієнт осциляції

;

лінійний коефіцієнт варіації

або ;

та квадратичний коефіцієнт варіації

або .

За результатами проведених обчислень можна зробити такі висновки. З величини лінійного коефіцієнту варіації бачимо, що в середньому значення товарообігу фірм відрізняються від середнього товарообігу на 21 %. А з обчисленого квадратичного коефіцієнта варіації можна також зробити висновок, що в середньому місячний товарообіг фірм відрізняється від середнього товарообігу на 28 %.