7) Основные свойства о.И.:

1.Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b],то постоянный множитель можно выносить за знак О.И.

2.Если функции интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] и их сумма, т.е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

3. Смена оценки снизу и сверху.

, Из ф.Н-Л.:

4. Аддитивности. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка:

5. «Т. о среднем» Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то сущ.(.) с є[a;b] такая, что ,где f(c) – среднее значение функции f(x) на [a;b].

Док-во: По ф.Н-Л. Имеем: ,где F(x)-первообразная f(x),т.е. F’(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) т.Лагранжа(т.о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F’(c)(b-a)=f(c)(b-a). ч.т.д.

8) Формула Ньютона-Лейбница.

Т. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x)-какая-либо ее первообразная на [a;b] (F’=f(x)),то имеет место формула:

Разобьём отрезок [a;b] точками a=x₀,x₁,…,x_n=b на n частичных отрезков [x₀;x₁],..[x_n-1;x_n].

Рассмотрим тождество F(b)-F(a)=F(x_n)-F(x₀)=(F(x_n)-F(x_n-1))+…+ (F(x₁)-F(x₀)). Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа: F(b)-F(a)=F’(c)(x_n-x_n-1)+…+F’(c₁)(x₁-x₀), т.е.

Переходя от равенства к пределу при n→∞, т.е. λ=max∆xi→0,получаем: .Ч.т.д.

Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интеграла заменена этим пределом:

,по ф.Н.-Л.: ,следовательно

,т.е. О.И. с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции. Ч.т.д.

9)Интегрирование заменой переменной. Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка x=φ(t).

Т. Если:

1. функция x=φ(t) и ее производная x’=φ’(t) непрерывны при tє[α;β];

2. множеством значений функции x=φ(t) при tє[α;β] является отрезок [a;b];

3. φ(α)=a и φ(β)=b,

то

Интегрирование по частям.

Т. Если функция u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула:

10)

Площадь плоской фигуры.

(*)Площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (f(x)≥0).

(**)Площадь криволинейной трапеции, расположенной «ниже» оси абсцисс (f(x)<0):

(*); (**)

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x), прямыми x=a и x=b (при условии f2(x)≥f1(x)) можно найти по формуле:

Длина дуги кривой.

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y=f(x), где a≤x≤b.

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломанной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена стремиться к 0. Если функция y=f(x) и ее производная y’=f’(x) непрерывны на отрезке [a;b], то и кривая имеет длину, равную

Объем тела по площади поперечных сечений.

Пусть требуется найти объем тела V, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ох: S=S(x), a≤x≤b.

Тогда объем тела можно найти по формуле:

Объем тела вращения.

Пусть вокруг оси Ox вращается криволинейная трапеция, ограниченная линией y=f(x)≥0, отрезком a≤x≤b и прямыми x=a и x=b. Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох, есть круг радиусом y=f(x). Следовательно, S(x)= πy². Применяя формулу объем тела по площади поперечных сечений, получаем