3. Линейные ду первого рода.
y’+p(x)*y=g(x) – линейное ДУ первого рода, где р(х) и g(x) – заданные функции, в частности постоянные.
Искомая ф-ция у и ее производная y’ входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.
Решение ДУ первого рода y’+a(x)*y=b(x).(*). Метод Бернулли.
y=U*V – решение ищется в виде произведения 2х функций.
y’=U’*V+U*V’ - произаодная
U’*V+U*V’+a*U*V=b - подставляя выражение у в уравнение(*).
V(U’+aU)+UV’=b (**) - группируем
U’+a*U=0 – подбираем функцию чтобы выражение в ( )=0
.
Подставим
в (**)
4. Численное решение дифференциального уравнения. Метод Эйлера.
Приближенные методы интегрирования ДУ.
-инт.
уравнение относ-ся у(х).
Пусть есть промежуток [a,b]; x0=a
Шаг разбиения постоянен. xi-xi-1=h – шаг интегрирования. В ответе – таблица.
Приближенное решение ДУ – таблично заданная функция, таблица чисел. Сущ. много критериев оценки приближения решения. Простейшее – разность между значениями искомой и приближающейся функции на конце отрезка.
Метод Эйлера:
y’=f(x,y)
y’=(yi - yi-1)/h
yi=yi-1+hf(xi-1,yi-1)
tgα=f(xi-1,yi-1)
В ответе – таблица. Геометрический – ломаная Эйлера. является некоторым приближением. yn(x) -> y(x)
5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общее и частное решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.
ДУ порядка выше первого называется ДУ высших порядков.
F(x,y,y’,…,yn)=0
yn= f(x,y,y’,…,yn-1) (*)– ДУ разрешенное относительно старшей производной.
Решением ДУ (*) наз-ся всякая функция y=φ(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Общим решением ДУ наз-ся функция y=φ(x; С1; С2), где C1,C2 – не зависящие от x произвольные постоянные, удовл условиям:
1) φ(x; С1; С2) являя решением ДУ для каждого фиксированного значения C1 и C2;
2) Каковы бы ни были начальные условия, сущ. единственные значения постоянных C1=C01 и C2=C02 такие, что функция y=φ(x; С01; С02) явл-ся решением уравнения (*) и удовл начальным условиям:
(**)
Всякое решение y=φ(x; С01; С02) уравнения (*), получающееся из общего решения y=φ(x; С1; С2) при некоторых значениях постоянных C1= С01, C2=C02 наз-ся частным решением. Решения ДУ (*), записанные в виде Ф(x;y;C1;C2)=0 и Ф(x;y; С01; С02)=0, называются общим и частным интегралом. График всякого решения ДУ второго порядка наз-ся интегральной кривой.
Задача нахождения решения ДУ (*), удовлетворяющего заданным начальным условиям (**) называется задачей Коши.
Теорема:
Если в уравнении (*) функция f(x;y;y’) и ее частные производные f ‘y и f ‘‘y
непрерывны в некоторой области D изменения переменных x, y и y’, то для всякой точки (x0; y0; y ‘0) € D существует единственное решение y=φ(x) уравнения (*), удовл начальным условиям (**).
6. Линейный ду оператор n-го порядка и его свойства. Свайства решений линейного однородного ду. Фундаментальная система решений, определитель Вронского.
b0(x)yn+b1(x)yn-1+…+bn(x)y=g(x), где b0(x) не=0, b1(х)…,bn(x), g(x) – заданные функции (от x) – линейное ДУ n-го порядка.
Оно содержит искомую функцию y и все ее производные лишь в первой степени. b1(х)…,bn(x) – коэффициенты уравнения, ф-ция g(x) – свободный член.
Если g(x)=0, то уравнение линейное однородной, если нет, то неоднородное. Разделив на b0 получаем
yn+a1(x)yn-1+…+an(x)y=f(x) Коэффициенты и свободный член уравнения являются непрерывными ф-ями.
Линейный оператор:
C[a,b] – мн-во ф-ий непрерывных на [a;b]
Cn[a,b] – мн-во ф-й n-раз непрер диффер-х
L: Cn[a,b] -> C[a,b]
Свойства линейного диффер. оператора:
1. L[Cy] = C L[y]
2. L[y1+y2] = L[y1] + L[y2]
Док-во: 1. const можно выносить за знак произв. 2. произв. суммы есть суммы произв.
рассм. ЛОДУ второго порядка y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0 (*).
Свойства решений ЛОДУ:
Если ф-ция y1=y1(x) и y2=y2(x) явл частными решениями уравн. (*), то решением этого уравнения явл. также функция y=C1y1(x)+C2y2(x), где С1, С2 – const., y=y1+y2, y=C*y1
Средством изучения лин зависимости системы функций явл-ся определитель Вронского.
Если дифференцирумые ф-ции y1(x) и y2(x) линейно зависимы на (a,b) то определитель Вронского на этом интервале равен 0.
Совокупность любых двух лин. независимых на интервале (a,b) частных решений y1(x) и y2(x) ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого Ур-ия: любое произвольное решение м.б. получено как комбинация y=α1y1(x)+α2y2(x)
7.
ЛНДУ уравнение высшего порядка имеет общий вид:
y(n)+a1(x)y(n-1)+a2(x)
y(n-2)+…+an(x)y=f(x)
, где a1(x),a2(x),…,an(x),f(x)
– заданные непрерывные функции на
отрезке (a;b).
Уравнение
называется соответствующим
ему
однородным
уравнением.
Т. Структура общего решения ЛНДУ.
Рассмотрим ЛДНУ 2го порядка, y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x) (*). Общим решением у уравнения явл. Сумма его произвольного частного решения у* и общего решения y^=c1y1+c2y2 соответствующего однородного уравнения y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0 (**), т.е. у=у*+у^(***).
Докажем что функция (***) – решение уравнения (*).
Т.к. у* - решение уравнения (*) ,а y^ решение уравнения (**),то:
(y*)’’+a1(x)(y*)’+a2(x)y*=f(x) и (y^)’’+a1(x)(y^)’+a2(x)y^=0.
(y*+y^)’’+a1(x)(y*+y^)’+a2(x)(y*+y^)=f(x)
(y*)’’+a1(x)(y*)’+a2(x)y* + (y^)’’+a1(x)(y^)’+a2(x)y^=f(x)+0=f(x)
Это означает, что функция (y*+y^) явл.решением уравнения (*). И т.к. Из решения y=y*+c1y1+c2y2 можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Можно сделать вывод что функ-я y=y*+c1y1+c2y2 явл. общим решением уравнения (*).
Следовательно Общее решение ЛНДУ имеет вид:
y=y*+c1y1+c2y2 +…+cnyn