11. Решение системы линейных однородных ду с постоянной матрицей.

Рассм. метод интегрирования нормальной системы, когда она представляет собой систему ЛОДУ с постоянными коэфф-ми. Для простоты рассм. систему 3х уравнений:

(*) aij – постоянные. подставим y1=α*e^kx; y2=β* e^kx; y3=γ* e^kx (**), где α, β, γ – постоянные, кот. надо подобрать так, чтобы (**) удовл. (*)

подставив (**) в (*) получаем

Чтобы эта система имела ненулевое решение, необх и достаточно, что определитель был равен 0:

- характеристическое уравнение системы (*)

Решение: корни характеристического уравнения различны:

Вид частных решений определяется:

y1=C1 α1*e^k1x+C2 α2*e^k2x +C3 α3*e^k3x

y2=C2 β 1*e^k1x+C2 β 2*e^k2x +C3 β 3*e^k3x

y2=C2 γ 1*e^k1x+C2 γ 2*e^k2x +C3 γ 3*e^k3x

Операционное исчисление.

1) Основными первоначальными понятиями в операционном исчислении являются понятия функции-оригинала и функции-изображения. Пусть f(t)-действительная функция действительного переменного t.

Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет условиям:

1.f(t)Ξ0 при t<0.

2.f(t)-кусочно-непрерывная при t≥0,т.е. она непрерывна или имеет точки разрыва 1го рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек лишь конечное число.

3.Существуют такие числа М>0 и s₀≥0,что для всех t выполняется неравенство |f(t)|≤M∙e^S0t, число s₀-показатель роста f(t).

Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного p=s+iσ, определяемая интегралом:

Операция перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называется преобразованием Лапласа. А соответствие между ними записывается в виде f(t):F(p).

Свойство линейности:

Линейная комбинация оригиналов соответствует така же линейная комбинация изображений, т.е. f₁(x):F₁(p), f₂(x):F₂(p),то с₁f₁(x)+ с₂f₂(x):с₁F₁(p)+с₂F₂(p), где c₁ и c₂-постоянная. Используя свойства интеграла, находим:

2) Т. Подобия.

Если f(t):F(p), λ>0, то f(λt):^F/_λ (^p/_λ), т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число λ приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

<Положив λt=t₁> (т.к. безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования) .

Т.смещения (затухания).

Если f(t):F(p),a=const, то e^atf(t):F(p-a),т.е. умножение оригинала на функцию e^at влечет за собой смещение переменной p:

Изображение функции Хэвисайда.

Рассмотрим св-во Запаздывания. Если f(t):F(p), τ >0,то f(t- τ):e^-pτ F(p), те. Запаздывание оригинала на положительную величину τ приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на e^-pτ.

Св-во запаздывания удобно прим. При отыскании изображения функции; функций, описывающих импульсные процессы.Функция 1(t-τ)={1 при t≥τ,{ 0 при t<τ , называется обобщенной единичной функцией (Хэвисайда).

3) Дифференцирование оригинала.

Если f(t):F(p) и функции f’(t),f’’(t),…, f⁽ⁿ⁾(t) являются оригиналами, то

f’(t):pF(p)-f(0),

f’’(t):p²F(p)-pf(0)-f’(0),

f’’’(t):p³F(p)-p²f(0)-pf’(0)-f’’(0),

………………

f⁽ⁿ⁾(t):pⁿF(p)-p^n-1f(0)-…-f^(n-1)(0).

Дифференцирование изображения.

Если f(t):F(p), то

F’(p): -t f(t),

F’(p):(-1)² t² f(t),

………………

F⁽ⁿ⁾(p):(-1)ⁿ tⁿ f(t)

т.е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на (-t).