11. Численные методы интегрирования. Методы прямоугольников, трапеций и др.

Если можно найти первообразную F(x) функции f(x), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: Отыскание первообразной функции иногда сложно или ее первообразная не всегда выражается через элементарные функции. Тогда исп-т приближенные формулы.

Основу алгоритма в численных методах интегрирования составляет геометрический смысл определяемого интеграла, выражающего площадь криволинейной трапеции под подынтегральной кривой на отрезке [a; b].

Суть всех численных методов интегрирования состоит в приближенном вычислении указанной площади. Поэтому все численные методы интегрирования являются приближенными методами. Из всех численных методов интегрирования наибольшее распространение получили методы: 1) прямоугольников; 2) трапеций; 3) Симпсона.. 1) Если в каждой части деления отрезка [a; b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом нулевой степени (прямой, параллельной оси абсцисс), то квадратурная формула называется формулой прямоугольников, а метод – методом прямоугольников..

2) Если в каждой части деления отрезка [a; b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом первой степени (прямой, проходящей через соседние узловые точки), то квадратурная формула называется формулой трапеций, а метод – методом трапеций..

3)Если в каждой части деления отрезка [a; b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом второй степени (квадратичная парабола), то квадратурная формула называется формулой Симпсона.

12. Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы:

– опред.интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования

- определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования ,но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

1. Интегралы по неограниченным промежуткам. При составлении интегральных сумм один из промежутков будет иметь бесконечную длину и следующую сумму составить невозможно.

- несобственный интеграл на неограниченном промежутке (если предела не сущ., то предел расходится).

2. Интеграл от ограниченной функции. При составлении интегральной суммы значение функции на одном из промежутков может оказаться сколь угодно большим, а следовательно для любого n можно сделать Sn сколь угодно большим, след-но предела интегральных сумм нет.

Если предел не сущ, то интеграл не сходится.

13. Общая схема построения определенного интеграла. Двойной и тройной интеграл и их свойства.

Двойной интеграл:

Двойной интеграл:

Пусть в замкнутой области D плоскости Oxy задана непрерывная ф-ция z=f(x;y). Разобьем область D на n «элементарных областей» Di, площади которых обозначим ∆Si, а диаметры di. В каждой области Di выберем произвольную точку Mi(xi;yi), умножим на значение f(xi;yi) ф-ции в этой точке на ∆Si и составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма наз-ся интегральной суммой функции f(x;y) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы, когда n стремится к бесконечности таким образом, что max di ->0. Если этот предел сущ и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он наз-ся двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается

где f(x;y) – функция интегрируемая в области D, D – область интегрирования, x и y – переменные интегрирования; dxdy – элемент площади.

Теорема о сущ: Если функция z=f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

Тройной интеграл:

Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непрерывная функция u=f(x;y;z). Разбив область V сеткой поверхностей на n частей Vi и выбрав в каждой из них произвольную точку Mi(xi;yi;zi), составим интегральную сумму Σ f (xi;yi;zi)∆Vi для функции f(x;y;z) по области V ( Vi – объем элементарной обл-ти Vi). Если предел интегральной суммы сущ при неограниченном увеличении числа n таким образом, что каждая «элементарная область» Vi стягивается в точку, то его наз-ют тройным интегралом от функции u=f(x;y;z) по области V и обозначают:

Теорема сущ. Если ф-ция u=f(x;y;z) непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегрально суммы при n->∞ и max di->0 ceo и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек Mi(xi;yi;zi) в них.