14. Геометрические приложения двойных и тройных интегралов и их вычисление повторным интегрированием.

Двойной интеграл

Геометрич. приложения двойного интеграла:

Объем тела:

1) объем цилиндрического тела:

где z=f(x;y) – Ур-ие поверхности, огранич-ее тело сверху.

2) Площадь плоской фигуры:

если f(x;y;)=1, то цилиндрическое тело = прямой цилиндр с высотой H=1.

Объем V такого цилиндра численно равен площади S.

3) Масса плоской фигуры:

Масса плоской пластинки D с переменной плотностью γ= γ(x;y) нах-ся по ф-ле:

4) Статистические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры:

Статистические моменты фигуры D относительно осей Ox и Oy выч-ся по ф-ле:

5) Момент инерции плоской фигуры:

Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ox и Oy выч-ся по ф-ам:

Геометрич. приложения тройного интеграла:

1) Объем тела:

Объем области V выр-ся формулой:

2) Масса тела:

Масса тела m при заданной объемной плотности γ выч-ся:

, где γ= γ(x;y;z) – объемная плотность распределения массы в точке M(x;y;z)

3) Статистические моменты.

4) Центр тяжести тела:

Координаты центра тяжести тела V нах-ся по формулам:

5) Моменты инерции тела.

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей:

Вычисление двойных интегралов повторным интегрированием:

Вычисление тройной интегралов повторным интегрированием:

1. Ду первого рода.

ДУ первого рода F(x; y; y’)=0 Уравнение связывает независимую переменную x, искомую функцию у и ее производную y’.

y’=f(x; y) (*) – ДУ первого порядка, разрешенное относительно производной. Устанавливает связь между координатами точки (x; y) и угловым коэффициентом y’ касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. (*) дает совокупность направлений на плоскости Oxy.

Общее решение (семейство интегральных кривых) - функция y=φ(x;c), содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

1) Функция φ(x; c) явл. решением ДУ при каждом фиксированном значении С.

2) при любом начальном условии можно найти такое значение постоянной С=С₀, что функция y=φ(x;c₀) удовл. данному начальному условию.

Частное решение ( одна кривая из семейства, проход через (х₀, у₀))– любая функция y=φ(x;c₀), полученная из общего решения y=φ(x;c) при конкретном значении постоянной С=С₀.

Задача Коши: Найти такую функцию y, при подстан. которой в ДУ последнее обращенное в тождестве и значение которой в точке x0 равняется y₀.

Теорема о сущ. и единств. решения. Если в y’=f(x; y) функция f(x; y) и ее частная произв. f’_y(x;y) непрерывны в некоторой области D, содерж. точку (х0;у0), то сущ. единственное решение y=φ(x ) этого уравнения, удовл. начальному условию.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися и разделенными переменными.

ДУ наз-ся уравнением с разделенными переменными, если оно имеет след вид: P(x)dx + Q(y)dy=0

ДУ наз-ся уравнением с разделяющимися переем., если оно имеет вид: m1(x)n1(y)dx+m2(x)n2(y)dy=0 : (n1(y)*m2(x))

m1(x)/m2(x)*dx + n2(y)/n1(y)*dy=0