4) Решение уравнений и систем операторным методом.
Пусть требуется найти частное решение линейного диф.уравнения с пост. коэффициентами:
y(n)+a1y(n-1) +…+any=f(t) (*), удовлетворяющее начальным условиям: y(0)=c0, y’(0)=c1,…, y(n-1)(0)=cn-1,где с0,с1,..,сn-заданные числа. Искомая функция y=(t) вместе с ее рассматриваемыми производными и функция f(t) явл.оригиналами.
Пусть
y(t):Y(p)=Y
и f(t):F(p)=F.
Пользуясь свойствами дифференцирования
оригинала и линейности, перейдем в
уравнении (*) от оригинала к изображениям:
(pnY-pn-1c0-pn-2c1-…-cn-1)+a1(pn-1Y-pn-2c0- …-cn-2)+...+an-1(pY-c0)+anY=F. Полученное уравнение называют операторным. Разрешим его относительно Y: Y(pn+a1pn-1+…+an-1p+an)=F+c0(pn-1+a1pn-2+…+an-1)+c1(pn-2+a1pn-3+…an-2)+…+cn-1,т.е. Y(p)∙Qn(p)=F(p)+Rn-1(p), где Qn(p) и Rn-1(p) - алгебр.многочлены от p степени n и (n-1) соответственно.
Из последнего уравнения находим:
.
Полученное равенство называется
операторным
решением
диф. уравнения (*).
Доп.вопр)
Криволинейные интегралы 1го рода.
Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая L длины l. Непрерывная функция f(x;y) определена в точках дуги L. Разобьем кривую L точками A=M0,M1,…,Mn=B на n произвольных дуг Mi-1Mi с длинами ∆li. Выберем на каждой дуге Mi-1Mi произвольную точку (xi;yi) и составим сумму
Ее называют интегральной суммой для функции f(x;y) по кривой L. Если наибольшая из длин дуг деления ∆li стремится к 0(тогда n->∞) существует конечный предел интегральных сумм, то его называют криволинейным интегралом 1го рода и обозначают:
Криволинейные интегралы 2го рода.
Пусть
в плоскости Оху задана непрерывная
кривая L
и функция P(x;y),
определенная в каждой точке кривой.
Разобьем кривую L
точками A=M0,M1,…,Mn=B
в направлении от точки А к точке В на n
дуг Mi-1Mi
с длинами ∆li.
На каждой частичной дуге Mi-1Mi
возьмем точку (xi;yi)
и составим сумму вида
,где
∆xi=xi-xi-1–
проекция дуги Mi-1Mi
на
ось Ох. Сумму называют интегральной
суммой для функции Р(х;у) по переменной
х. Если при стремлении наибольшей из
длин дуг деления ∆li
к 0 интегральная сумма имеет конечный
предел, не зависящий ни от способа
разбиения кривой L,
ни от выбора точек ,то его называют
криволинейным
интегралом 2го рода
и обозначается он так
Формула Грина.
Связь между 2м интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Грина. Пусть на плоскости Оху задана правильная область D.
Т. Если функция P(x;y) и Q(x;y) непрерывны вместе со своими частными производными ∂P/∂y и ∂Q/∂x в области D, то имеет место формула:
,где
L
– граница области D
и интегрирование вдоль кривой L
производится в положительном
направлении(т.е. при движении вдоль
кривой, область D
остается слева