- •Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений
- •Содержание работы
- •Основные понятия
- •Этап 1. Отделение корней
- •Аналитический способ отделения корней.
- •Рекуррентная формула для вычисления последовательных приближений
- •Упрощенный вариант метода
- •Оценка погрешности приближения
- •Оценка погрешности приближения
- •Метод итераций
- •Оценка погрешности приближения
- •Постановка задачи ( общая формулировка )
- •Варианты заданий
- •Содержание отчета
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •Лабораторная работа № 2 Решение систем линейных уравнений
- •Содержание работы
- •Основные понятия
- •Метод Крамера
- •Метод Гаусса
- •Прямой ход
- •Обратный ход
- •Контроль вычислений
- •Текущий контроль (контроль прямого хода).
- •Заключительный контроль (контроль обратного хода).
- •Применение метода Гаусса для вычисления определителей
- •Применение метода Гаусса для обращения матриц
- •Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •Метод Гаусса–Жордана
- •Метод простых итераций
- •Преобразование слу к итерационному виду
- •Оценка погрешности приближений
- •Метод Зейделя
- •Постановка задачи
- •Варианты заданий
- •Содержание отчета
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •1. Изучение
- •Основные понятия
- •Случаи применения интерполяции
- •Теорема существования и единственности интерполяционного полинома
- •Интерполяционные полиномы Ньютона
- •Конечные разности
- •Разделенные разности
- •2. Т.К. В формуле присутствуют , , , ••• , то она удобна для интерполяции в начале таблицы и не используется в конце.
- •Разделенные разности:
- •И ; . Нтерполяционный полином Лагранжа
- •Экстраполяция
- •Обратная интерполяция
- •Оценка погрешности приближения функции интерполяционным полиномом
- •Рассмотрим вспомогательную функцию
- •По теореме Ролля
- •Практическая оценка погрешности
- •Если ,
- •Постановка задачи Функция заданна таблично
- •Варианты заданий
- •Содержание отчета
- •Вопросы и задания для самоконтроля
Лабораторная работа № 1
Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Цель работы: изучение методов численного решения нелинейных уравнений.
Содержание работы
Изучение
а) аналитического способа отделения корней;
б) численных методов уточнения корней:
дихотомии,
хорд,
касательных,
комбинированного,
итераций.
Применение численных методов для решения алгебраических уравнений.
Реализация вычислительного процесса.
Основные понятия
Алгебраические уравнения (в канонической форме):
аn x n + an-1 x n-1 + ... + a1x + a0 = 0
Трансцендентные уравнения -
в которых переменная х находится
под знаком трансцендентной функции:
показательная а х;
логарифмическая log a x ;
тригонометрические sin x ;
cos x ;
. . .
Численное решение уравнения (вычисление корней) состоит из нескольких этапов.
Этап 1. Отделение корней
Условия, предъявляемые функции на интервале изоляции корня (рис. 1.1):
- наличие корней;
3)
Рис. 1.1
Случаи поведения на :
1 2 3 4
>0 <0 <0 >0
<0 <0 >0 >0
Рис. 1.2
Аналитический способ отделения корней.
Необходимо найти:
Производные и .
Критические точки (точки экстремума и точки перегиба): = 0 и .
Знаки : а) в критических точках,
б) в граничных точках (определяются D(f), где D(f) - область определения
функции).
Интервал, где функция меняет знак: , где .
Пример. Необходимо отделить корни уравнения x3 – 3x + 1 = 0 .
Определение точек экстремума: = 3x2 – 3 = 0 ,
.
Область определения полиномов: D( f ) = ] - ; + [.
Построение таблицы знаков функции (табл. 1.1):
Таблица 1.1
-
x
-
-1
1
+
sign f(x)
-
+
-
+
Вывод: т.к. функция f(х) имеет 3 перемены знака, то уравнение f(х) = 0 имеет 3
действительных корня.
Определение точек перегиба: ,
х = 0 .
Уточненный вариант таблицы знаков функции (с конкретизацией границ) (табл. 1.2 ) :
Таблица 1.2
-
x
-2
-1
0
1
2
sign f(x)
-
+
+
-
+
Критерий конкретизации границ: замена не влияет на знак функции .
Вывод: ;
[ 0; 1];
[ 1; 2].
Этап 2. Уточнение корней
Процесс уточнения корней осуществляется различными методами .
Метод дихотомии (половинного деления)
Р ассмотрим случай 3 ( см. рис. 1.2, рис. 1.3 ).
Рис. 1.3
1. Вычисляется .
2. Определяется ,
Сужение интервала .
и т. д.
В результате формируется последовательность х0, x1, x2, ..., xn, ... ,
3. Производится оценка погрешности приближения
,
где - длина интервала изоляции корня на n - й итерации ;
- предельная абсолютная погрешность приближения (заданная точность вычислений).
Если выполняется неравенство – вычисления прекращаются и
xn .
Пример. Необходимо методом дихотомии уточнить корень уравнения
х 3 - 3 х +1 = 0 с точностью 10 –3 (табл. 1.3) .
Таблица 1.3
n |
a n |
b n |
|
f(x n) |
0 |
0 |
1 |
0,5 |
-0,375 |
1 |
0 |
0,5 |
0,25 |
0,2656 |
2 |
0,25 |
0,5 |
0,375 |
-0,0723 |
3 |
0,25 |
0,375 |
0,3125 |
0,0930 |
4 |
0,3125 |
0,375 |
0,3438 |
0,0092 |
5 |
0,3438 |
0,375 |
0,3594 |
-0,0318 |
6 |
0,3438 |
0,3594 |
0,3516 |
-0,0113 |
7 |
0,3438 |
0,3516 |
0,3477 |
-0,0011 |
8 |
0,3438 |
0,3477 |
0,3458 |
0,0040 |
9 |
0,3458 |
0,3477 |
0,3468 |
0,0013 |
10 |
0,3468 |
0,3477 |
0,3473 |
|
a10 - b10 = 0,3468 – 0,3477 = 0,0009 < , где = 0,001.
0,347 .
Метод хорд (пропорциональных частей)
Идея метода состоит в замене на хордой .
Р ассмотрим случай 3 ( см. рис. 1.2, рис.1.4).
Рис. 1.4
Выбор начального приближения : в качестве выбирается тот конец , для которого
.
В данном случае x0 = b.
Уравнение хорды :
Рассмотрим : полагая y=0 и x=x1 находим
,
где x1 – 1-е приближение.
Аналогично для : полагая y=0 и x=x2 находим
,
где x2 – 2-е приближение.
.
.
.
Рекуррентная формула для вычисления последовательных приближений имеет следующий вид:
, (n = 0,1,2,...). (1.1)
В результате формируется монотонная убывающая последовательность
a<<...<xn+1<xn<...<x1<x0=b .
Замечание . В случаях 1 и 3 (см. рис. 1.2) начальное приближение х0 = b и вычисления ведутся по формуле (1.1) .
В случаях 2 и 4 (см. рис. 1.2) начальное приближение х0 = а , а рекуррентная формула принимает вид :
( n = 0, 1, 2,…).
Оценка погрешности приближения
При n N , где N - определенное число (т. е. начиная с некоторого приближения)
выполняется - xn<xn - xn-1.
Если xn - xn-1< , то - xn< .
Пример. Необходимо методом хорд уточнить корень [0;1] уравнения
х 3 - 3х + 1 = 0 с точностью 10 –3 (табл. 1.4) .
;
а = 0 ; f(a) = 1.
Таблица 1.4
n |
х n |
x n - a |
f(x n ) |
|
0 |
1 |
1 |
-1 |
-0,5 |
1 |
0,5 |
0,5 |
-0,375 |
-0,3636 |
2 |
0,3636 |
0,3636 |
-0,0427 |
-0,3487 |
3 |
0,3487 |
0,3487 |
-0,0037 |
-0,3474 |
4 |
0,3474 |
0,3474 |
-0,0003 |
-0,3473 |
5 |
0,3473 |
|
|
|
x 5 - x 4 < .
0,347.
Метод касательных ( Ньютона )
Идея метода состоит в замене дуги кривой y=f(x) на ее касательной .
Рассмотрим случай 3 (см. рис. 1.2, рис.1.5).
Рис. 1.5
Выбор начального приближения : в качестве x0 выбирается тот конец , для которого
.
В данном случае x0=a.
Уравнение касательной : .
Рассмотрим : полагая y=0 и x=x1 находим
,
где x1 – 1-е приближение.
Аналогично для : полагая y=0 и x=x2 находим
,
где x2 – 2-е приближение.
.
.
.