Рекуррентная формула для вычисления последовательных приближений

( n = 0,1,2,.... ). (1.2)

В результате формируется монотонная возрастающая последовательность :

a= x₀<x₁<...<x_n<x_n+1<...<<b.

Замечание . В случаях 1 и 3 (см. рис. 1.2) начальное приближение x₀ = a.

В случаях 2 и 4 (см. рис. 1.2) начальное приближение х₀ = b.

Упрощенный вариант метода

Если  const , то  (см. рис. 1.6)

Рис. 1.6

.

Замечание . Данный вариант метода актуален, если производная сложна.

Оценка погрешности приближения

x_n - x_n-1<  .

Пример. Необходимо методом касательных уточнить корень  [0;1] уравнения

с точностью 10 ^–3 (табл. 1.5) .

.

Таблица 1.5

n
0	0	1	-3	-0,3333
1	0,3333	0,0371	-2,6667	-0,0139
2	0,3472	0,0003	-2,6384	-0,0001
3	0,3473

x ₃ - x ₂ <  .

  0,347 .

Комбинированный метод (хорд и касательных)

Метод хорд и метод касательных дают приближения к корню с разных сторон (см. рис.1.7) .

Совместное использование методов позволяет на каждой итерации находить приближенные значения с недостатком и с избытком, что ускоряет процесс сходимости.

Рис. 1.7

,

;

(1.3)

Замечание. На каждой итерации метод применяется к новому .

Оценка погрешности приближения

.

Если неравенство выполняется – вычисления прекращаются и

  .

Пример. Необходимо комбинированным методом уточнить корень 0;1 уравнения

х ³ – 3  х +1 = 0 с точностью 10 ^–3 (табл. 1.6) .

,

.

Таблица 1.6

n	x n		f(x n)
0	0	1	1	-0,5	-3	-0,3333
	1		-1
1	0,3333	0,1667	0,0371	-0,0150	-2,6667	-0,0139
	0,5		-0,3750
2	0,3472	0,0011	0,0003	-0,0001	-2,6384	-0,0001
	0,3483		0,0027
3	0,3473	0
	0,3473

 <  .

  0,347 .