- •Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений
- •Содержание работы
- •Основные понятия
- •Этап 1. Отделение корней
- •Аналитический способ отделения корней.
- •Рекуррентная формула для вычисления последовательных приближений
- •Упрощенный вариант метода
- •Оценка погрешности приближения
- •Оценка погрешности приближения
- •Метод итераций
- •Оценка погрешности приближения
- •Постановка задачи ( общая формулировка )
- •Варианты заданий
- •Содержание отчета
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •Лабораторная работа № 2 Решение систем линейных уравнений
- •Содержание работы
- •Основные понятия
- •Метод Крамера
- •Метод Гаусса
- •Прямой ход
- •Обратный ход
- •Контроль вычислений
- •Текущий контроль (контроль прямого хода).
- •Заключительный контроль (контроль обратного хода).
- •Применение метода Гаусса для вычисления определителей
- •Применение метода Гаусса для обращения матриц
- •Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •Метод Гаусса–Жордана
- •Метод простых итераций
- •Преобразование слу к итерационному виду
- •Оценка погрешности приближений
- •Метод Зейделя
- •Постановка задачи
- •Варианты заданий
- •Содержание отчета
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •1. Изучение
- •Основные понятия
- •Случаи применения интерполяции
- •Теорема существования и единственности интерполяционного полинома
- •Интерполяционные полиномы Ньютона
- •Конечные разности
- •Разделенные разности
- •2. Т.К. В формуле присутствуют , , , ••• , то она удобна для интерполяции в начале таблицы и не используется в конце.
- •Разделенные разности:
- •И ; . Нтерполяционный полином Лагранжа
- •Экстраполяция
- •Обратная интерполяция
- •Оценка погрешности приближения функции интерполяционным полиномом
- •Рассмотрим вспомогательную функцию
- •По теореме Ролля
- •Практическая оценка погрешности
- •Если ,
- •Постановка задачи Функция заданна таблично
- •Варианты заданий
- •Содержание отчета
- •Вопросы и задания для самоконтроля
Прямой ход
Этап 1
Ведущий элемент: a11=2 .
Нормирование 1-го уравнения: .
Исключение неизвестной х1 из оставшихся 3-х уравнений:
2-е уравнение
,
3-е уравнение
,
4-е уравнение
.
В результате формируется система уравнений:
Этап 2
Ведущий элемент: .
Нормирование 1-го уравнения новой системы:
Исключение неизвестной x2 из оставшихся 2-х уравнений:
2-е уравнение
,
3-е уравнение
.
В результате формируется система уравнений:
Этап 3
Ведущий элемент: .
Нормирование 1-го уравнения новой системы: .
Исключение неизвестной х3 из оставшегося уравнения:
.
В результате формируется уравнение
.
После нормирования: х4= -1 .
Обратный ход
Формирование эквивалентной системы с треугольной матрицей:
Вычисление неизвестных
В рассмотренном примере все вычисления выполнялись с целью иллюстрации теоретической информации. На практике удобней пользоваться таблицей следующего вида (табл. 2.1) :
Таблица 2.1
|
|
aij |
|
bi |
2 |
3 |
11 |
5 |
2 |
1 |
1 |
5 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
-3 |
1 |
1 |
3 |
4 |
-3 |
|
|
|
|
|
-1 |
-3/2 |
-11/2 |
-5/2 |
-1 |
|
-1/2 |
-1/2 |
-1/2 |
0 |
|
-2 |
-8 |
-3 |
-5 |
|
-1/2 |
-5/2 |
3/2 |
-4 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
-1 |
0 |
|
|
-6 |
-1 |
-5 |
|
|
-2 |
2 |
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
-1/6 |
-5/6 |
|
|
|
7/3 |
-7/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
1 |
x1 |
х2 |
x3 |
x4 |
|
-2 |
0 |
1 |
-1 |
|
a(0)
a(1)
a(2)
a(3)
Примечания: 1) ( - свободные члены);
2) элементы , , вычисляются по определенной схеме (см. рис. 2.2).
aij +ai1 c1
Рис. 2.2
Недостаток метода : чувствительность к ошибкам округления.
,
где - значение с ошибкой округления,
- погрешность результата.