Содержание отчета

1. Постановка задачи.

2. Численное решение.

3. Результаты вычислений.

4. Выводы.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Описать метод Гаусса в общем виде. Описать способ контроля точности вычисления для метода Гаусса. Привести пример.

2. Описать модификацию метода Гаусса для вычисления определителей матриц. Привести пример.

3. Описать модификацию метода Гаусса для получения обратной матрицы. Привести примеры.

4. Описать метод Гаусса с выбором главного элемента. Привести пример.

5. Описать метод Гаусса-Жордана. Привести пример.

6. Описать метод простых итераций и оценить погрешность приближения для этого метода. Привести пример.

7. Описать метод Зейделя и оценить погрешность приближения для этого метода. Привести пример.

Лабораторная работа № 3

Интерполяция функций

Цель работы: изучение аппарата полиномиальной интерполяции.

Содержание работы

1. Изучение

а) интерполяционных полиномов

• Ньютона,

• Лагранжа;

б) способов оценки погрешности интерполяции;

2. Применение интерполяционных полиномов для решения практических задач.

Основные понятия

Интерполяция является частным случаем аппроксимации. Задача интерполяции обратна задаче табуляции функций (см. рис. 3.1).

Постановка задачи

Необходимо построить интерполяционную функцию , удовлетворяющую условию: , где - узлы интерполяции (см. рис. 3.2).

В общей постановке задача является неопределенной, т.к.

.

Дополнительные требования (для определенности)

Вместо произвольной функции необходимо найти полином , причем

[степень полинома] < [количество узлов интерполяции].

(Если количество узлов интерполяции , то максимальная степень полинома ).

Определение. Приближенное вычисление по ряду дискретных значений

 для - интерполяция ;

 для - экстраполяция .

Случаи применения интерполяции

1. Вычисление промежуточных значений функции, заданной таблично (в частности – уплотнение таблицы функций (субтабуляция)).

2. Построение аналитического выражения по эмпирическим данным.

3. Замена сложной формулы менее трудоемкой.

Теорема существования и единственности интерполяционного полинома

Для любой функции при любом наборе несовпадающих узлов всегда существует только один интерполяционный полином (который может быть представлен в различной форме).

Замечание: - определена на ;

Доказательство : Искомый полином (в канонической форме)

.

Условия, накладываемые на полином

,

,

•

•

•

позволяют получить систему n + 1 уравнений с n + 1 неизвестными:

.

Система линейных уравнений относительно неизвестных a₀, a₁,…, a_n всегда имеет единственное решение, т.к.

- определитель Вандермонда.

Следовательно, решив систему, можно однозначно определить a_j и построить полином .

В принципе, данный метод приемлем для построения интерполяционных полиномов (метод неопределенных коэффициентов), но существуют и другие, более удобные и менее трудоемкие способы, в которых отсутствует процедура решения систем уравнений.