Ферми — Дирака для вырожденного газа при абсолютном нуле.

График функции распределения Ферми — Дирака для вырожденного газа при абсолютном нуле имеет вид ступеньки, обрывающейся при Е = μ.

При абсолютном нуле все состояния с энергией Е < μ заняты электронами, состояния с энергией Е > μ свободны.

При Т = 0 К вероятность заполнения электронами состояний с энергией Е < μ равна единице, вероятность заполнения состояний с энергией Е> μ равна нулю.

Влияние температуры на распределение ферми — дирака.

Рис. 3.16. Тепловое возбуждение электронов (а); график функции распределения Ферма—Дирака при Т>0 К (б) для вырожденного газа (для металла)

С повышением температуры электроны узкой полосы, непосредственно примыкающей к уровню Ферми (рис. 3.16, а), переходят на более высокие энергетические уровни.

На рис.3.16,б показана кривая распределения электронов по состояниям при Т > 0 К. Повышение температуры вызывает появление линии распределения АВ.

Функция распределения Ферми-Дирака для вырожденного газа имеет вид:

.

Функция распределения для невырожденного газа. Функция распределения f(E) для невырожденного газа имеет следующий вид:

(3.88)

где k — постоянная Больцмана;

μ — химический потенциал.

На рис. 3.13, а показан график этой функции. Она имеет максимальное значение при E = 0 и асимптотически снижается с увеличением Е. Это означает, что наибольшую вероятность заполнения имеют состояния с низкими энергиями; по мере повышения энергии состояний вероятность их заполнения резко падает.

Рис. 3.13. Функции распределения для невырожденного газа: а — средняя степень заполнения состояний частицами;

Функции распределения для невырожденного газа называют функциями Максвелла — Больцмана.

Функция распределения применяется также для вырожденного газа бозонов (фотонов, фононов). Функция была впервые получена Бозе и Эйнштейном и имеет следующий вид:

(3.105)

Тепловые свойства твердых тел. Понятие о нормальных колебаниях решетки

Атомы твердых тел совершают сложные тепловые колебания около положений равновесия.

Квант энергии тепловых колебании решетки называется фононом.

С точки зрения квантовой теории равновесное тепловое излучение рассматривается как газ, образованный квантами света — фотонами, обладающими энергией Е = hv = ħω.

Кристаллическая решетка может колебаться с различными частотами ω, энергии фононов в кристалле ħω различны.

Элементы зонной теории твердых тел зонный характер энергетического спектра кристаллов

В свободных атомах электроны располагаются на энергетических уровнях, образующих дискретный спектр (рис. 5.1).

На рис. 5.1,а схематически по казан энергетический спектр атомов, отстоящих на расстоянии r >> а, где а — параметр решетки кристалла.

Рис.5.1. Изменение состояния электронов при сближении атомов: а — энергетическая схема атомов удаленных на расстояние, значительно превышающее параметр решетки, б — энергетическая схема атомов натрия сближенных до расстояния равного параметру решетки

В кристалле расстояния между атомами оказываются настолько малыми, что каждый из атомов взаимодействует с соседним. По мере сближения атомов взаимодействие между ними растет. На рис. 5.1, б показана картина, отвечающая такому сближению. Потенциальные кривые (на рис. 5.1, б), частично налагаются друг на друга и дают результирующую кривую ABCDE. Волновые функции электронов соседних атомов перекрываются, образуя электронное облако. Электроны принадлежат кристаллу в целом, т. е. они коллективизированы в кристалле.