Властивості:

Теорема. – абсолютно збіжний – збіжний.

Теорема. Абсолютно збіжний ряд при переставленні своїх членів не змінює суму.

Теорема (Рімана). Якщо числовий ряд збігається умовно, тоді

1) для будь-якого дійсного числа знайдеться переставлення , для якого ;

2) можна побудувати таке переставлення , що .

Теорема.

Причому .

Теорема Мертенса. Якщо один із рядів чи збігається абсолютно, а інший хоча б умовно, тоді буде збігатися ряд спеціального виду:

– збігається до добутку значень сум цих рядів, тобто .

22. Степеневі ряди. Теорема Абеля про область збіжності степеневого ряду. Формула Коші-Адамара для визначення радіуса збіжності. Рівномірна збіжність, диференціювання і інтегрування степеневих рядів.

Означення. Функціональний ряд вигляду:

називається степеневим рядом, а числа – коефіцієнтами степеневого ряду.

Очевидно, що кожен степеневий ряд збігається в точці х=0. Тому область збіжності степеневого ряду містить точку нуль, тобто .

Теорема (теорема Абеля). Якщо степеневий ряд збігається в точці , тоді – збігається абсолютно в точці .

Означення. Радіусом збіжності степеневого ряду називається значення величини , де – область збіжності степеневого ряду.

Означення. Інтервал називається інтервалом збіжності степеневого ряду, де – радіус збіжності степеневого ряду.

Теорема (теорема Коші-Адамара). Розглянемо степеневий ряд . Позначимо , тоді

I)	II)	III)
степеневий ряд розбігається при ,	1) даний ряд абсолютно збігається, 2) даний ряд розбігається,	степеневий ряд збігається на ,
тобто , ;	тобто – інтервал збіжності, а радіус збіжності ;	Тобто , .

Наслідок. Формула для обчислення радіуса збіжності степеневого ряду : .

Можна отримати іншу формулу за умови, що : .

Лема. Нехай – радіус збіжності степеневого ряду , тоді – рівномірно збігається на .

Теорема (теорема про інтегрування степеневих рядів). Степеневий ряд можна почленно інтегрувати на ( – радіус збіжності), крім того, радіус збіжності отриманого почленним інтегруванням степеневого ряду буде той самий, що і у вихідного ряду, тобто .

Теорема (теорема про диференціювання степеневих рядів). Степеневий ряд можна почленно диференціювати всередині інтервалу збіжності, при цьому отриманий почленним диференціюванням ряд має той самий радіус збіжності, що й вихідний ряд.

Наслідок. Степеневий ряд можна почленно диференціювати скільки завгодно разів. Всі ряди, отримані -кратним диференціюваннями, будуть мати той самий радіус збіжності, що й вихідний ряд.

23.Функциональные последовательности и ряды.

- функц-я последовательность (ФП), - функц-й ряд (ФР).

Опр. . - ФП.

1.Область опр-я ФП – мн-во Х, при котором Для любого : имеет смысл.

2.Область сх-ти ФП – мн-во тех Х, при кот. числовая посл-ть - сх-ся.

3. наз. предельной функцией, если для любого , т.е. .

4. наз. равномерносх-ся к на мн-ве Х, равном-но сх-ся а , если .

5.Критерий равномерной сх-ти. равном-но сх-ся а .

6.Криткрий Коши (равномерной сх-ти). ФП равномерно на мн-ве Х стремится к нек. предельной ф-и .

Опр. Ряд составленный из функций одной и той же переменной : , наз. функциональным.

Опр. ФР наз. равномерносходящимся на Х, если на этом мн-ве равномерно сх-ся посл-ть его частичных сумм.

Критерий Коши равн-ой сх-ти ФР: - равн-но сх-ся .

Признаки равномерной сх-ти ФР:

1.Признак Веерштраса. ФР равномерно сх-ся в области Х, если сущ. такой сх-ся числовой ряд , что для всех значений , лежащих в этой области, имеет место неравенство .

2.Признак Дирихле. Пусть на Х частичный равномерно ограничен, а последовательность монотонна (т.е. ) при каждом и равномерно сх-ся к 0 на Х, тогда -равномерно сх-ся на Х.

3.Признак Абеля. Пусть -равномерно сх-ся, а монотонна при каждом и равномерно ограничена, тогда -равномерно сх-ся на Х.

Свойства функциональных рядов.

1.Почленное интегрирование

Теорема (для рядов): Пусть для любого , и пусть -равномерно сх-ся на к , тогда .

Теорема (для последовательности): Пусть для любого , и пусть -равномерно сх-ся на к , тогда .