27. Поняття функції комплексної змінної . Границя, неперервність, похідна фунції комплексної змінної. Умови Коши-Рімана диференційованості функції.
Кажуть,
що на множині 
задано однознану функцію комплексного
змінного, якщо визначений закон f
за яким кожній точці 
поставлено у відповідність одну і
тільки одну точку 
(скінченна
або нескінченна).
Нехай
функція f(z)
визначена
у проколотому околі т. 
т. А
комплексної розширеної площини
називається границею
функції
f(z)
в т.
або при 
…
.
Зауваження:
нескінченно
мала функція,
нескінченно
велика функція.
Функція
f(z)
називається
неперервною
в т.
,
якщо
границя 
Якщо
існує скінченна границя при 
,
то
цю границю називають похідною
функції компл. змінної в т.
і позначають 
.
Умови Коши – Рімана
Функція
диференційована
в т. 
,
тоді
і тільки тоді, коли виконуються дві
умови:
1) функції
-
диференційовані
в т. 
2) в даній точці виконуються умови
- умови Коши - Рімана
28. Елементарні функції комплексної змінної. Означення інтегрального лишку та його обчислення. Основна теорема про лишки та її застосування.
Елементарні функції комплексної змінної.
1. Раціональна функція:
,
де 
-
множини степеню n
і m
відповідно, цілі додатні числа.
Раціональна
функція визначається за допомогою
арифметичних операцій. Прикладом є
функція 
.
2. Показникова та тригонометрична функція:
,
функції
в
комплексній площині визначаються за
допомогою степеневих рядів
(1)
(2)
(3)
Ці
ряди абсолютно збіжні у всій комплексній
множині.
Тільки 
- показникові функція.
Формула Ейлера.
Враховуючи, що з абсолютно збіжним степеневим рядом можна здійснювати арифметичні дії, помножимо ряд (2) на число і та додамо до ряду (3).
Т.ч.
доведено
Гіперболічні функції
Всі
елементарні функції, які ми визначили
при
співпадають з відповідними функціями
дійсного змінного.
Означення інтегрального лишку та його обчислення.
Ли́шок у комплексному аналізі — число (як дійсне, так і комплексне), яке описує поведінку криволінійних інтегралів мероморфних функцій у деякій особливій точці. За допмогою лишків можна обчислювати значення інтегралів різних типів, у тому числі дійсних.
Методи обчислення лишків
На практиці обчислювати лишки за означенням, тобто через контурний інтеграл, у багатьох випадках важко. Тому використовують наслідки з означення для особливих точок різного типу.
Усувна особлива точка
В усувній особливій точці лишок дорівнює нулю. Проте, у випадку з нескінченністю це не завжди так. Якщо в околі нескінченно віддаленої точки функція має розвинення в ряд Лорана, то
Полюс
Простий полюс у точці
:
Полюс кратності n у точці :
Проте, якщо функція представлена як частка двох голоморфних функцій:
,
і
,
то:
Істотно особлива точка
У більшості випадків
в істотно
особливій точці
лишок зручно знаходити, як коефіцієнт
розвинення в ряд
Лорана.
Наприклад:
Розвинемо
та
в ряд Лорана:
Тоді після підстановки цих розвинень та зведення подібних доданків, можна побачити, що:
Основна теорема про лишки та її застосування.
Основна теорема про лишки — результат в комплексному аналізі, що має важливе застосування для обчислення криволінійних інтегралів голоморфних функцій, а також для обчислення деяких дійсних інтегралів і суми рядів певного типу. Є узагальненням інтегральної формули Коші і інтегральної теореми Коші.