- •Множини, їх види, операції над множинами та їх властивості. Числові множини. Точна верхня і точна нижні межі множин
- •2. Множина раціональних чисел та її властивості. Потужність множини раціональних чисел.
- •3. Множина дійсних чисел та її властивості. Арифметичні операції над дійсними числами. Упорядкування дійсних чисел
- •– Дистрибутивність.
- •4. Числові послідовності, їх види та арифметичні операції над ними. Граничні точки, границя, нижня і верхня границі послідовності та умови їх існування.
- •5.Поняття функції. Способи завдання функції та їх класифікація. Границя функції в точці за Гейне і за Коші та їх еквівалентність. Істотні границі
- •Второй замечательный предел
- •6. Означення неперервності функції в точці. Неперервність елементарних функцій. Локальні властивості неперервної функції. Точки розриву
- •Означення неперервності в точці
- •Означення неперервності в точці за Коші
- •Точки розриву
- •Локальні властивості:
- •11. Формула Тейлора диференнційовної функції та її залишковий член. Формула Тейлора для елементарних функцій та її застосування.
- •Ряд Тейлора
- •Разложение в ряд Тейлора (Маклорена) основных элементарных функций.
- •12. Умови монотонності функції. Означення екстремума функції, необхідні і достатні умови існування локального екстремума. Напрям опуклості графіка функції та точки перегину.
- •13. Поняття первісної функції, невизначеного інтегралу та їх властивості. Основні методи інтегрування (заміна змінної інтегрування, інтегрування частинами а інші).
- •2) Теорема (Інтегрування частинами)
- •14. Означений інтеграл та його властивості. Необхідні та достатні умови інтегрованості за Ріманом. Класи інтегрованих функцій. Формула Ньютона – Лейбніца.
- •19. Дослідження на локальний і тотальний екстремум функції багатьох змінних. Поняття про умовний екстремум.
- •20 Численные ряды, признаки их сх-ти. Абсолютно и условно сх-ся ряды,их св-ва
- •Числовые ряды с положительными членами: , - числовой ряд с положительными членами.
- •Властивості:
- •22. Степеневі ряди. Теорема Абеля про область збіжності степеневого ряду. Формула Коші-Адамара для визначення радіуса збіжності. Рівномірна збіжність, диференціювання і інтегрування степеневих рядів.
- •23.Функциональные последовательности и ряды.
- •2.Почленное дифференцирование
- •24. Тригонометрический ряд фурье
- •25. Кратні інтеграли (подвійні, потрійні): означення властивості, обчислення, застосування.
- •26. Скалярне та векторне поле та їх характеристики (градієнт скалярного поля, дивергенція і ротор векторного поля та ін.). Формули Грина, Остроградського-Гауса та Стокса.
- •27. Поняття функції комплексної змінної . Границя, неперервність, похідна фунції комплексної змінної. Умови Коши-Рімана диференційованості функції.
- •28. Елементарні функції комплексної змінної. Означення інтегрального лишку та його обчислення. Основна теорема про лишки та її застосування.
- •Твердження
- •Доведення
- •31. Метрические пространства. Определение и примеры метрических пространств. Сходимость последовательностей элементов метрических пространств.
- •32. Принцип сжимающих отображений.
- •33. Мера лебега в конечном евклидовом пространстве.
- •34. Интеграл лебега.
- •35. Скалярное, векторное и смешаное произведение векторов.
- •36. Прямая на плосости. Уравнение прямой на пл-ти в прямоугольной декартовой системе координат.
- •39. Элипс, парабола, гипербола и их свойства.
- •40. Приведение линии 2-го порядка к каноническому виду
5.Поняття функції. Способи завдання функції та їх класифікація. Границя функції в точці за Гейне і за Коші та їх еквівалентність. Істотні границі
Поняття функції.
Означення. Нехай дана числова множина X a R, та кожному х є X поставлено у відповідь число у є R, тоді кажуть, що на множині X задана числова функція, и пишуть y = f(x), хєХ.
В цьому записі х називають аргументом або незалежною змінною, множину X називають областю визначення функції, її позначають також D( f ). Число у{), що відповідає значенню аргументу х(), називають значенням функції в точці х0 і позначають f(x0). Множину значень функції позначають інколи E( f).
Функції
називаються основними елементарними функціями.
Означення. Елементарною функцією називають функцію, яка може бути задана за допомогою скінченого числа арифметичних операцій і композицій з основних елементарних функцій.
Означений. Графіком функції у = fix) , х є D{ f), в прямокутній системі координат Ох у називають множину усіх точок площини с координатами (x;f(x)), х є D( f).
Означення . Функцію у = fix), задану на симетричній відносно нуля множині X, називають парною (непарною), якщо для кожного хєХ виконується рівність f(-x)=f(x), (f(-x)=-f(x)).
Графік парної функції симетричний відносно осі ординат, ірафік непарної функції симетричний відносно начала координат.
Означення. Число Т = 0 називають періодом функції y = f(x), якщо для будь-якого х € D(f) виконується:
х + Т є D(f), х - Т є D(f) , f(x + Т)= f(x).
Функцію, що має період називають періодичною. Графік періодичної функції при зсуву вздовж осі Ох на період переходить у себе.
Означення. Функцію у = f(x) називають обмеженою зверху(знизу) на множині
X D{ f), якщо існує С є R для будь якого Y є X виконується Означення. Функцію обмежену зверху і знизу на множині X називають обмеженою на множині X . Це еквівалентно такому: існує С > 0 для будь якого х є X =>│ f(x)│ С.
Означення. Функцію у = f(x) називають не зростаючою (не спадною) на множині X D( f), якщо . Якщо нерівності , строгі то функцію називають строго спадною та зростаючою відповідно.
Границя функції
Означении 1. (по Коші). Число b називається границею функції в точці а, якщо таке,що
Означення 2.(по Гейне). Число b називається границею функції в точці а, якщо для будь-якої збіжної до а послідовності такої, що , відповідно послідовність значень функції збігається до b.
Пишуть:
Теорема 1 . Означення 1 і 2 еквівалентні.
Теорема 2. Нехай функції задані в деякому околі точки а, окрім, можливо, самої точки а, і . Тоді:
Теорема 3. Нехай функції задані в деякому околі точки а, окрім,можливо,самої точки а, і задовольняють нерівностям . Нехай . Тоді .
Способы задания функции
Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества X, поставлено в соответствие только одно число у, пишут , при этом x называют аргументом функции, y называют значением функции. Существуют разные способы задания функций. 1. Аналитический способ. Аналитический способ - это наиболее часто встречающийся способ задания функции. Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над x, чтобы найти у.
Например: . Рассмотрим первый пример - . Здесь значению x = 1 соответствует , значению x = 3 соответствует и т. д. Функция может быть задана на разных частях множества X разными функциями. Например:
Во всех ранее приведенных примерах аналитического способа задания, функция была задана явно. То есть, справа стояла переменная y, а справа формула от переменной х. Однако, при аналитическом способе задания, функция может быть задана и неявно. Например: . Здесь, если мы задаем переменной x значение, то, чтобы найти значение переменной у (значение функции), мы должны решить уравнение. Например, для первой заданной функции при х = 3, будем решать уравнение:
. То есть, значение функции при х = 3 равно -4/3. При аналитическом способе задания, функция может быть задана параметрически - это, когда х и у выражены через некоторый параметр t. Например,
Здесь при t = 2, x = 2, y = 4. То есть, значение функции при х = 2 равно 4. 2. Графический способ. При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом . Пример: 3. Словесный способ. Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле. «Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число». 4. Табличный способ. Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y. Пример: Табличный способ задания функции очень удобен при обработке результатов исследований. Например, при выявлении зависимости между уровнем загрязнения окружающей среды и количеству людей, заболевших раком.
Істотні границі
Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Следствия