- •Множини, їх види, операції над множинами та їх властивості. Числові множини. Точна верхня і точна нижні межі множин
- •2. Множина раціональних чисел та її властивості. Потужність множини раціональних чисел.
- •3. Множина дійсних чисел та її властивості. Арифметичні операції над дійсними числами. Упорядкування дійсних чисел
- •– Дистрибутивність.
- •4. Числові послідовності, їх види та арифметичні операції над ними. Граничні точки, границя, нижня і верхня границі послідовності та умови їх існування.
- •5.Поняття функції. Способи завдання функції та їх класифікація. Границя функції в точці за Гейне і за Коші та їх еквівалентність. Істотні границі
- •Второй замечательный предел
- •6. Означення неперервності функції в точці. Неперервність елементарних функцій. Локальні властивості неперервної функції. Точки розриву
- •Означення неперервності в точці
- •Означення неперервності в точці за Коші
- •Точки розриву
- •Локальні властивості:
- •11. Формула Тейлора диференнційовної функції та її залишковий член. Формула Тейлора для елементарних функцій та її застосування.
- •Ряд Тейлора
- •Разложение в ряд Тейлора (Маклорена) основных элементарных функций.
- •12. Умови монотонності функції. Означення екстремума функції, необхідні і достатні умови існування локального екстремума. Напрям опуклості графіка функції та точки перегину.
- •13. Поняття первісної функції, невизначеного інтегралу та їх властивості. Основні методи інтегрування (заміна змінної інтегрування, інтегрування частинами а інші).
- •2) Теорема (Інтегрування частинами)
- •14. Означений інтеграл та його властивості. Необхідні та достатні умови інтегрованості за Ріманом. Класи інтегрованих функцій. Формула Ньютона – Лейбніца.
- •19. Дослідження на локальний і тотальний екстремум функції багатьох змінних. Поняття про умовний екстремум.
- •20 Численные ряды, признаки их сх-ти. Абсолютно и условно сх-ся ряды,их св-ва
- •Числовые ряды с положительными членами: , - числовой ряд с положительными членами.
- •Властивості:
- •22. Степеневі ряди. Теорема Абеля про область збіжності степеневого ряду. Формула Коші-Адамара для визначення радіуса збіжності. Рівномірна збіжність, диференціювання і інтегрування степеневих рядів.
- •23.Функциональные последовательности и ряды.
- •2.Почленное дифференцирование
- •24. Тригонометрический ряд фурье
- •25. Кратні інтеграли (подвійні, потрійні): означення властивості, обчислення, застосування.
- •26. Скалярне та векторне поле та їх характеристики (градієнт скалярного поля, дивергенція і ротор векторного поля та ін.). Формули Грина, Остроградського-Гауса та Стокса.
- •27. Поняття функції комплексної змінної . Границя, неперервність, похідна фунції комплексної змінної. Умови Коши-Рімана диференційованості функції.
- •28. Елементарні функції комплексної змінної. Означення інтегрального лишку та його обчислення. Основна теорема про лишки та її застосування.
- •Твердження
- •Доведення
- •31. Метрические пространства. Определение и примеры метрических пространств. Сходимость последовательностей элементов метрических пространств.
- •32. Принцип сжимающих отображений.
- •33. Мера лебега в конечном евклидовом пространстве.
- •34. Интеграл лебега.
- •35. Скалярное, векторное и смешаное произведение векторов.
- •36. Прямая на плосости. Уравнение прямой на пл-ти в прямоугольной декартовой системе координат.
- •39. Элипс, парабола, гипербола и их свойства.
- •40. Приведение линии 2-го порядка к каноническому виду
Второй замечательный предел
Следствия
6. Означення неперервності функції в точці. Неперервність елементарних функцій. Локальні властивості неперервної функції. Точки розриву
Неперервність функції в точці
Означення. Функція називаеться неперервною в точці а, якщо . Функції називаеться неперервною справа(зліва) в точці а, якщо .
Теорема . Якщо функції неперервні в точці а, то функції також неперервні в точці а.
Нехай функшя задана на множині X, i У - множина значень цієї функції. Нехай на множині У задана функшя кажуть, що на множит X задана композиція функції(складна функція .
Класифікація точок розриву.
Нехай а - гранична точка области визначення функції f(x). Точка а називаеться точкою розриву функції f(x) , якщо f(x) в цій точці не е неперервною. Тод1 а називаеться:
точкою усувного розриву, якщо існує
точкою розриву I роду, якщо існують
точкою розриву II роду, якщо в точці а не юнуе хоча б одна з одностороншх границь.
(під словами існує(не існує) мається на вазі існує(не існує) скінчена границя).
Неперервність елементарних функцій
Приклад неперервної функції
Приклад розривної функції в точці x=2. Функція не є неперервною зліва точки x=2
проте є неперервною справа:
Функція дійсної змінної, яка означена в області , неперервна в точці якщо для довільного знайдеться таке , що з випливає . Функція неперервна в області , якщо неперервна в кожній точці цієї області.
Нехай — гранична точка множини A.
Означення неперервності в точці
Функція f називається неперервною в точці якщо:
функція визначена в точці .
існує границя
3.
Означення неперервності в точці за Коші
Функція f називається неперервною в точці якщо:
Означення неперервності в точці за Гейне
Функція f називається неперервною в точці якщо: , якщо
Точки розриву
Точка розриву - це така точка (значення аргументу) в якій функція не є неперервною. Розрізняють такі види точок розриву:
Розрив називають усувним, якщо в даній точці існує границя функції, що не збігається з значенням функції.
Точку називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі в даній точці, та вони не збігаються.
Якщо хоча б одна одностороння границя не існує, чи нескінченна, то точку називають точкою розриву другого роду.
Локальні Властивості неперервної функції
Локальні властивості:
Функція, безперервна в точці a, є обмеженою в деякій околиці цієї точки.
Якщо функція f неперервна в точці a і для всіх x, Досить близьких до a.
Якщо функції f i g безперервні в точці a, То функції теж неперервні в точці a.
Якщо функції f i g безперервні в точці a і при цьому , То функція теж неперервна в точці a.
Якщо функція f неперервна в точці a і функція g неперервна в точці , То їх композиція неперервна в точці a.
9 Диф-ть ф-и одной пер-й.
Пусть дана ф-я , опред. на . Выберем любую т. и дадим нек. приращ. (настолько малое, что ) Приращ. ф-и в т. :
Опр. Производной ф-ей от наз. предел отношения приращения ф-и к приращ. ее аргумента, когда последн.
Опр. наз. дифференцируемой в т. , если
A=const, не зависящ. от , - бмф при
Th.
Утв: , т. е. если слева = справа
Опр. Лин. часть приращ. ф-и наз. диф-лом ф-и
Th. , , , то :
Th.
Th. : , монот, , , тогда , , монот.,
.
Опр. наз. возраст. в т. если сущ. нек окр-ть этой т. в кот.
.
Опр. наз. убыв. в т. если сущ. нек окр-ть этой т. в кот.
.
Замечание: 1 Если ф-я возраст. (убыв.), то она возраст (убыв.) в т. .
Если ф-я возраст. (убыв.) в т. , то она не обяз. возраст (убыв).
Th1. возр. (убыв.) в т.
Необх. усл-я экстремума.
Опр. Ф-я имеет в т. loc max (min), если в нек проколотой окр-ти этой т. вып-ся ( )
Опр. Ф-я имеет loc экстремум в т. , если в этой т. она имеет или loc min или loc max.
Th (Ферма): , - loc extr. .
Док-во: По усл.
Т.к. имеет в т. loc extr, то она не может в этой точке ни возр. ни убыв, тогда по th1 не м. б. >0 или <0, .
Th Ролля: , :
Док-во: (th Вейерштрасса) ,
1)
2) , что или (т.к. ) (th Ферма)
Th Лагранжа: : .
Док-во: введем
(th Ролля)
(разность и лин. ф-и)
Сл-я:
Th1(дост. усл-я постоянства ф-и)
,
Th2(усл-я монотонности)
неубыв. на
невозр. на
Th3(дост. усл-я строгой монотонности)
возр. на
убыв. на
Th Коши
:
Док-во а) П. п. (th Ролля) :
б)
(th Ролля)
Th Дарбу и для нек-х .
Тогда :
10. Теорема Коші про відношення приростів двох функцій, диференційованих на відрізку. Поняття неозначеності в теорії границь. Теореми Лопіталя та їх застосування до розкриття неозначеності.
Теорема Коші. Якщо і − непер. на
і − диф. на
Доведення.
Розглянемо допоміжну функцію −непер. на функція, диф. на
за теоремою Ролля
, .
П равило Лопіталя 1 .
Нехай і − диф. на множині
, тобто під знаком має місце невизначеність
якщо скінченна або нескінченна
Доведення.
і − диф. в непер. в
і в т. мають усувний розрив.
Довизначаємо обидві функції в точці . Тоді і − непер. в .
Нехай ,
розглянемо − на цьому відрізку обидві функції і − непер, а на функції і − диф. .
Тоді за теоремо Коші .
або .
Існує за умовою для за Гейне .
П равило Лопіталя 2 .
Нехай і − диф. на множині
− скінченна або нескінченна
Доведення.
Розглянемо , .
, .
або
Відомо −фікс. .
Д ля
.
.
Висновок: , за Гейне це означає .