Твердження

Нехай U — відкрита, однозв'язна підмножина комплексної площини , z₁,...,z_n множина особливаих точок у U і f — функція що є голоморфною у множині U - {z₁,...,z_n}. Якщо γ — деяка замкнута спрямлювана крива у U, якій не належать z_k. Тоді :

В даній рівності, Res(f,z_k) позначає лишок функції f в точці z_k, а індекс контура γ відносно точки z_k.

Дане число може бути визначене за формулою:

Замітка. У найпоширенішому випадку крива вважається жордановою, тобто вона ніде не перетинається сама з собою. В такому випадку крива розбиває область U на дві частини внутрішню та зовнішню. Для внутрішніх особливих точок (як на малюнку) в таких випадках , для зовнішніх і їх можна не враховувати. Тоді рівність із твердження теореми перепишеться:

де сума береться по всіх внутрішніх особливих точках.

Доведення

Нехай F — множина особливих точок функції f, і для , функція допускає розклад у ряд Лорана в деякому проколотому диску радіуса з центром у точці :

Нехай ряд, визначений із сингулярної частини ряду Лорана :

Він є нормально збіжним на компактних підмножинах .

Визначимо функцію g у всій множині U як:

Дана функція є голоморфною в усій області U і тому згідно з інтегральною теоремою Коші:

згідно з визначенням функції g :

Зважаючи на нормальну збіжність можна записати :

Обчислюючи інтеграли одержуємо:

Об'єднавши дві попередні формули можна одержати:

і згадавши визначення лишка одержуємо необхідний результат:

31. Метрические пространства. Определение и примеры метрических пространств. Сходимость последовательностей элементов метрических пространств.

Множество называется метрическим пространством, если определено неотрицательное число , называемое расстоянием между элементами и и удовлетворяющее 3 аксиомам:

1. аксиома выбора:

2. аксиома симметрии:

3. аксиома треугольника:

Если на множестве задана функция удовлетворяющая 3 аксиомам из , то эта функция называется метрикой заданной на .

Если на множестве задана метрика , то полученное таким образом метрическое пространство принято обозначать или , в зависимости от того нужно ли указывать каким образом задана метрика.

Элементы метрического пространства принято называть точками этого пространства.

Примеры метрических пространств:

1. На множестве всех упорядоченных совокупностей действительных чисел зададим следующим образом

- мерное Евклидово пространство

2. На множестве всех ограниченных числовых последовательностей зададим следующим образом

- пространство ограниченных числовых последовательностей

3. Пусть фиксированное число , на множестве всех числовых последовательностей , каждая из которых удовлетворяет условию сходимости числового ряда , зададим следующим образом

- пространство числовых последовательностей суммируемых со степенью

4. На множестве всех числовых последовательностей зададим следующим образом

- пространство числовых последовательностей

5. На множестве всех действительных функций определенных и непрерывных на зададим следующим образом

. Полученное таким образом пространство обозначается символом и называется пространством функций непрерывных на .

6. На множестве всех определенных на и раз непрерывно дифференцируемых функций зададим следующим образом

, где производная. Полученное таким образом пространство обозначается символом и называется пространством раз непрерывно дифференцируемых на функций.

7. На множестве всех определенных и ограниченных на функций зададим следующим образом

. Полученное таким образом пространство обозначается символом и называется пространством ограниченных на функций.

8. Пусть фиксированное число , на множестве всех вещественных функций каждая из которых удовлетворяет 3 условиям:

1) - определена на

2) - измерима по Лебегу на

3) - интегрируема по Лебегу на .

Зададим следующим образом: . Полученное таким образом пространство обозначается символом и называется пространством суммируемых со степенью на функций.

Сходимость последовательностей элементов метрических пространств.

Будем говорить, что последовательность элементов метрического пространства , является сходящейся (сх) в этом пространстве к элементу , если: .

Св-ва:

1)всякая сходящаяся последовательность элементов метрического пространства сходится к единственному элементу этого пространства;

2)каждая сходящаяся последовательность метрического пространства является ограниченной;

3)любая подпоследовательность сходящейся последовательности элементов метрического пространства сходится к тому же элементу этого пространства, что и сама последовательность;

4) всякая сходящаяся последовательность элементов метрического пространства сходится в себе;

5) всякая сходящаяся в себе последовательность элементов метрического пространства является ограниченной.