- •Множини, їх види, операції над множинами та їх властивості. Числові множини. Точна верхня і точна нижні межі множин
- •2. Множина раціональних чисел та її властивості. Потужність множини раціональних чисел.
- •3. Множина дійсних чисел та її властивості. Арифметичні операції над дійсними числами. Упорядкування дійсних чисел
- •– Дистрибутивність.
- •4. Числові послідовності, їх види та арифметичні операції над ними. Граничні точки, границя, нижня і верхня границі послідовності та умови їх існування.
- •5.Поняття функції. Способи завдання функції та їх класифікація. Границя функції в точці за Гейне і за Коші та їх еквівалентність. Істотні границі
- •Второй замечательный предел
- •6. Означення неперервності функції в точці. Неперервність елементарних функцій. Локальні властивості неперервної функції. Точки розриву
- •Означення неперервності в точці
- •Означення неперервності в точці за Коші
- •Точки розриву
- •Локальні властивості:
- •11. Формула Тейлора диференнційовної функції та її залишковий член. Формула Тейлора для елементарних функцій та її застосування.
- •Ряд Тейлора
- •Разложение в ряд Тейлора (Маклорена) основных элементарных функций.
- •12. Умови монотонності функції. Означення екстремума функції, необхідні і достатні умови існування локального екстремума. Напрям опуклості графіка функції та точки перегину.
- •13. Поняття первісної функції, невизначеного інтегралу та їх властивості. Основні методи інтегрування (заміна змінної інтегрування, інтегрування частинами а інші).
- •2) Теорема (Інтегрування частинами)
- •14. Означений інтеграл та його властивості. Необхідні та достатні умови інтегрованості за Ріманом. Класи інтегрованих функцій. Формула Ньютона – Лейбніца.
- •19. Дослідження на локальний і тотальний екстремум функції багатьох змінних. Поняття про умовний екстремум.
- •20 Численные ряды, признаки их сх-ти. Абсолютно и условно сх-ся ряды,их св-ва
- •Числовые ряды с положительными членами: , - числовой ряд с положительными членами.
- •Властивості:
- •22. Степеневі ряди. Теорема Абеля про область збіжності степеневого ряду. Формула Коші-Адамара для визначення радіуса збіжності. Рівномірна збіжність, диференціювання і інтегрування степеневих рядів.
- •23.Функциональные последовательности и ряды.
- •2.Почленное дифференцирование
- •24. Тригонометрический ряд фурье
- •25. Кратні інтеграли (подвійні, потрійні): означення властивості, обчислення, застосування.
- •26. Скалярне та векторне поле та їх характеристики (градієнт скалярного поля, дивергенція і ротор векторного поля та ін.). Формули Грина, Остроградського-Гауса та Стокса.
- •27. Поняття функції комплексної змінної . Границя, неперервність, похідна фунції комплексної змінної. Умови Коши-Рімана диференційованості функції.
- •28. Елементарні функції комплексної змінної. Означення інтегрального лишку та його обчислення. Основна теорема про лишки та її застосування.
- •Твердження
- •Доведення
- •31. Метрические пространства. Определение и примеры метрических пространств. Сходимость последовательностей элементов метрических пространств.
- •32. Принцип сжимающих отображений.
- •33. Мера лебега в конечном евклидовом пространстве.
- •34. Интеграл лебега.
- •35. Скалярное, векторное и смешаное произведение векторов.
- •36. Прямая на плосости. Уравнение прямой на пл-ти в прямоугольной декартовой системе координат.
- •39. Элипс, парабола, гипербола и их свойства.
- •40. Приведение линии 2-го порядка к каноническому виду
32. Принцип сжимающих отображений.
Пусть метрические пространства. Любое отображение называется оператором действующим из пространства в пространство .
Оператор называется оператором сжатия, если существует такое число для которого выполняется неравенство: , константа называется константой сжатия.
Неподвижной точкой оператора называется любой такой элемент , который удовлетворяет равенству .
Метрическое пространство называется полным, если любая сходящаяся в себе последовательность элементов является сходящейся в этом метрическом пространстве. Следовательно метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда для любой последовательности его элементов выполняется следующее (критерий Коши): .
( Принцип сжимающих отображений ). Пусть полное метрическое пространство и оператор сжатия. Тогда в пространстве существует единственная неподвижная точка оператора .
33. Мера лебега в конечном евклидовом пространстве.
Мерой , заданной на произвольной системе подмножеств множества х наз. такая функция , которая удовлетворяет 2-е аксиомы: 1) - неотрицательность; 2) если А, В и то справедливо равенство: - условие адетивности. Мерой Лебега – мера заданная на - алгебре соотношением .( внешняя мера множества А). алгебра: счетно – адетивная мера задана на полукольце Р(х) подмножеств х, для которых ; символом будем обозначать совокупность всех таких подмножеств мн-ва х, каждое из которых измеримо по Лебегу, отсюда алгебра является алгеброй. Счетно-аддетивная мера- мера заданная на системе G(x) подмн-в мн-ва х, если она удовл-т след. условию: и - условие аддетивности меры.
Множество наз. n-мерным паралелепип-м, если существуют такие промежутки , что Для чисел удовлетворяющих условию . Рассмотрим порождаемое ими множество В задаваемое равенством: . Рассмотрим совокупность Р(В) всех n- мерных параллелепипедов, содержащихся в В. Очевидно, эта система является полукольцом. Зададим на этой системе меру m след. образом : , где обозначает длину промежутка . Т.о. мере паралелеп. А= его n-мерному V. Поскольку В , то указанную меру m можно продолжать до счетно-адетивной меры , заданной на алгебре L(B) след. образом ; .
Обозначим теперь символом совокупность всех n-мерных парал-в содержащихся в . Рассмотрим систему и обобщенную меру , задав их след образом: раз.
Множество наз. измеримым по Лебегу, если, и только если . Построенная обобщенная мера наз. мерой Лебега в n-мерном Евклидовом пр-ве.
34. Интеграл лебега.
Интеграл Лебега для простой функции. Функция , заданная на измеримом множестве Е наз. простой, если существуют такое мн-во , такие измеримые подмножества и такие действительные числа , что выполнены след. соотношения: (1). Простая функция зад. на измеримом мн-ве Е соотношением (1) наз. интегрируемой по Лебегу на Е (или суммируемой на Е), если сходиться числовой ряд: . При этом интеграл Лебега от на мн-ве Е наз. такое обозначаемое символом: действ. число, которое определяется след. равенством: (2). Из этого определения следует, что если только мн-во I входит в ф-лы (1) конечно, то заданная этой формулой фенкция заведомо интегрируема по Лебегу на Е.
Интеграл Лебега для измеримой функции. Функция , зад. на мн-ве Е наз. измеримой, если для мн-во явл. измеримым. (т.е. ). Измеримая функция , зад. на измеримом мн-ве Е, наз. интегрируемой по Лебегу на мн-ве Е (или суммируемой на Е), если существует последовательность простых, зад. на Е и интегрируемых по Лебегу на Е к функции .При этом интегралом Лебега от по мн-ву Е наз. такое обозначаемое символом действ. число, кот. определяется след. образом: (3).
Установим корректность заданного определения. Покажем, что предел, стоящий в правой части рав-ва (3) существует и конечен:
(св-во 4 инт-ла Лебега)
(КритерийКоши) ;
Т.о. существование конечного предела док-но в силу критерия Коши.
СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА.
Свойства инт. Лебега для простых функций. 1. Если Е- измеримое мн-во и , то такая функция интегрируема по Лебегу на Е и . 2. Если простая функция зад. на измеримом мн-ве явл. интегрируемой по Лебегу на Е, то функция также интегр. по Лебегу на Е 3. Если простые функции , , зад. на измеримом мн-ве Е явл. суммируемы на Е, то и функция также явл. суммируемой на Е и справедливо рав-во: (1). 4. Пусть простая функция , зад. на измеримом мн-ве Е явл. интегрируемой по Лебегу на Е и удовлетворяет условию: (где -некоторое полож. число), тогда справедливо нер-во: .
Докажем св-во 3. Рассмотрим простой частный случай.
. .
В этом случае интегрир. , а также справедливость формулы (1) легко установить: ,
Свойства инт. Лебега выраженного нер-ми. 1. Пусть измеримая на Е функция удовл. условию: . Тогда функция интегр. по Лебегу на Е и справ-во нер-во: . 2. Пусть измеримая на Е функция удовл. нер-ву: . Тогда, если интегрир. по Лебегу на Е,то . 3. Пусть измеримые на Е функции и итегрир. по Лебегу на Е и удовл. нер-ву: . Тогда . 4. Пусть измеримые на Е функции и удовл. нер-ву: . Тогда, если интегрир. по Лебегу на Е, то и функция также интегрир. по Лебегу на Е.