27)Управляемость динамических систем. Критерий Калмана.

Под управляемостью систем (объектов) понимается возможность целенаправленного изменения управляемых величин с помощью управляющих воздействий. Однако не все объекты допускают такую возможность. Рассмотрим простой пример - электрический мост, схема которого показана на рис.3.1.

Рис.3.1

Предположим, управляющим воздействием является величина Е, а регулируемой величиной - напряжение U_вых. Если R1 ≠ R2, то по закону Ома U_вых = КЕ или у=Кu, т.е. объект является управляемым.

Здесь К - некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от значений Rl, R2 и R.

Если же R1=R2, то U_вых = 0 при любом значении величины Е и в этом случае данный объект является не управляемым.

Для определения управляемости более сложных объектов управления применяют критерии управляемости, позволяющие проверить управляемость по математическим моделям объекта.

Рассмотрим определение и критерий управляемости по Р.Калману. Допустим объект (или система) имеют уравнения: (3.1)

Где u - вектор управлений, у - вектор управляемых величин. А, В, C, D коэффициенты, в общем случае представляющие из себя матрицы.

Объект управления, описываемый уравнениями (3.1) называется вполне управляемым, если с помощью ограниченного управления и за конечное время его можно перевести из состояния s₁≠0 в начало координат s₂= 0.

Критерий управляемости Калмана для оценки управляемости объектов или систем, уравнения которых представлены в форме (3.1), основан на исследовании синтетической матрицы управляемости, которая определяется как составная из нескольких матриц

U = [B,AB,…,A^n-1B], (3.2)

где n=dim s - порядок объекта или системы (3.1).

В общем случае матрица U является прямоугольной с размерами nхn q, где q=dim u - размерность вектора управлений u.

По Калману объект (3.1) называется полностью управляемым, если rang U = n, (3.3)

где n = dim s, rang - ранг матрицы. В противном случае объект является не полностью (не вполне) управляемым.

Отметим, что число столбцов матрицы U больше числа ее строк. Условие (3.3) означает, что среди столбцов матрицы найдется n линейно независимых, из которых можно составить квадратную nхn матрицу, определитель которой не будет равен нулю.

В частном случае, когда вектор управления одномерный (q=dim u=1), имеем квадратную nхn матрицу

В=b и U= [b,Ab,…, A^n-1b].

При этом условие управляемости принимает вид detU ≠ 0. Обратим внимание на то, что матрицы выходов C и D не влияют на управляемость системы. Оценим управляемость системы

Так как. n=dim s=2, матрица U определяется как

Определим матрицу Ab

Тогда и detU= -1, т.е. объект является полностью управляемым.

28)Наблюдаемость динамических систем и полнота.

Понятие наблюдаемости используется при построении системы управления по состоянию. Очевидно, что при этом все переменные состояния объекта управления должны быть измеримы. Но это не всегда реализуемо, поэтому измеряются некоторые другие величины, по которым определяются значения не измеряемых переменных состояния. Объекты управления, для которых эта задача разрешима, называются наблюдаемыми, в противном случае ─ не вполне (не полностью) наблюдаемыми. Объект (или система), управляемый по состоянию

где v - вектор измеряемых (наблюдаемых) переменных; у - вектор управляемых величин; u и f - векторы управлений и возмущений, называется наблюдаемым (наблюдаемой), если по результатам измерения векторов y(t) и u(t) на интервале [0,t] можно определить значение вектора s(t₁) при 0 < t₁, < t.

Критерий наблюдаемости основан на использовании синтетической матрицы наблюдаемости, которая определяется как составная из нескольких матриц

где п = dim х. Объект (или система) (3.5) является наблюдаемым (наблюдаемой), если rang N = n

где п = dimx. Иначе объект (или система) является не вполне (не полностью) наблюдаемым (наблюдаемой).

Отметим, что число строк матрицы U больше числа ее столбцов. Условие (3.6) означает, что среди строк матрицы найдется n линейно независимых, из которых можно составить квадратную nхn матрицу, определитель которой не будет равен нулю.

В частном случае, когда dim y = 1, матрица N – квадратная и условие наблюдаемости имеет вид detN ≠ 0.