31)Устойчивость динамических систем. Критерий устойчивости Гурвица.
Составляется матрица Гурвица размерностью (пхп) следующим образом. На главной диагонали выписываются коэффициенты характеристического полинома, начиная с аn=1. Затем заполняются столбцы матрицы: вниз от диагонали вписываются коэффициенты аi с возрастающими индексами, а вверх - коэффициенты аi - с убывающими. Вместо недостающих коэффициентов вписываются нули. Матрица Гурвица имеет вид, показанный в (3.12)
(3.12)
Вычисляются определители угловых
миноров полученной матрицы, называемые
определителями Гурвица
(3.13)
Если все коэффициенты характеристического
полинома и все определители Гурвица
строго больше нуля, то система
асимптотически устойчива.
32)Устойчивость динамических систем. Критерий Вышнеградского.
Для применения критерия Рауса необходимо по коэффициентам характеристического полинома составить таблицу Рауса (табл.3.1)
Таблица3.1
an |
an-2 |
an-4 |
… |
an-1 |
an-3 |
an-5 |
… |
c31 = an-2- an-3k1 |
c32 = an-4- an-5k1 |
… |
… |
c41 = an-3- c32k2 |
c42 = an-5- c33k2 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Где k1= an/ an-1, k2= an-1/ c31, k3= c31/ c41 и так далее до заполнения (n+1) строки. Если все коэффициенты характеристического полинома и все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса строго больше нуля, то система асимптотически устойчива.
В частном случае, когда степень характеристического полинома n=3, из критерия Гурвица следует неравенство
a2 a1 > a0 a3 (3.14)
Это неравенство является условием критерия Вышнеградского: система третьего порядка устойчива тогда и только тогда, когда выполняется неравенство (3.14).
33)Устойчивость динамических систем. Частотные критерии устойчивости.
Частотные критерии устойчивости используют для определения устойчивости системы годографы комплексной функции, получаемой из характеристического полинома (критерий Михайлова), или годографы комплексного коэффициента передачи системы (критерий Найквиста).
34)Устойчивость динамических систем. Критерий Михайлова и Найквиста.
Критерий Михайлова. Система устойчива, если при изменении частоты от 0 до ∞ выполняются следующие условия:
Годограф начинается на вещественной, положительной полуоси комплексной плоскости.
Годограф, двигаясь против часовой стрелки, последовательно проходит n квадрантов при изменении ω от 0 до ∞ (n – порядок системы).
Критерий Найквиста. Если система в разомкнутом состоянии устойчива или нейтральна, то она будет устойчивой в замкнутом состоянии, если годограф Найквиста не охватывает точку (-1) комплексной плоскости. Если он ее охватывает, то система неустойчива. Если он через нее проходит, то система находится на границе устойчивости.
35)Области и запасы устойчивости.
Область значений параметров, в которой система устойчива, называется областью устойчивости данной системы.
Границы области устойчивости обычно ищут из условия обращения в нуль соответствующих определителей Гурвица или коэффициентов характеристического уравнения (при условии, что все остальные строго больше нуля).
Например, система, характеристическое уравнение которого имеет вид р2+ а1р + а0 = 0 устойчива согласно достаточному условию устойчивости при а1>0 и а0 >0. Область устойчивости данной системы представляет множество точек на плоскости а1а0 , удовлетворяющих этим условиям. Границами области устойчивости являются полуоси первого квадранта.
Запасы устойчивости. С течением времени значения параметров элементов системы могут изменяться. Кроме того, в расчетах по разным причинам присутствуют погрешности. В силу этого коэффициенты характеристического уравнения реальных систем управления могут отличаться от расчетных. Чтобы при этом реальная система сохраняла устойчивость необходимо заложить в нее некоторый запас устойчивости. система будет сохранять работоспособность, несмотря на влияние указанных Для оценки запаса устойчивости применяют показатель, который называется степенью устойчивости.
Степень устойчивости системы равна расстоянию от мнимой оси до ближайшего корня ее характеристического уравнения, если все корни расположены в левой полуплоскости. Последнее требование вытекает из критерия устойчивости по корням характеристического уравнения, иначе система просто неустойчива и говорить о каких то запасах просто не имеет смысла.
Количественно зависимость степени устойчивости от параметров системы обычно находится с помощью критерия Гурвица.