11) Статически неопределимые системы

Система называется статической определимой если все реакции опор могут быть определены из уравнения статики. Система состоящая из прямолинейных стержней наз. Рамой или фермом. Фермо это такая конструкция которой стержень испытывают деформацию растяжения или сжатия.

Статически неопределимые системы – системы, силовые факторы в элементах которых не могут быть определены только из уравнений равновесия твердого тела. В таких системах число связей больше, чем необходимо для равновесия. Степень статической неопределимости: S = 3n – m, n – число замкнутых контуров в конструкции, m – число одиночных шарниров (шарнир, соединяющий два стержня, считается за один, соединяющий три стержня – за два и т.д.). Метод сил – в качестве неизвестных принимают силовые факторы. Последовательность расчета: 1) устанавливают степень статич. неопределимости; 2) путем удаления лишних связей заменяют исходную систему статически определимой – основной системой (таких систем может быть несколько, но при удалении лишних связей не должна нарушаться геометрическая неизменяемость конструкции); 3) основную систему загружают заданными силами и лишними неизвестными; 4) неизвестные усилия должны быть подобраны так, чтобы деформации исходной и основной систем не отличались. Т.е. реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направлениям = 0. Канонические уравнения метода сил:

Эти уравнения являются дополнительными ур-ями деформаций, которые позволяют раскрыть статич. неопределимость. Число ур-ий = числу отброшенных связей, т.е. степени неопределимости системы.

_ik – перемещение по направлению i, вызванное единичной силой действующей по направлению k. _ii – главные, _ik – побочные перемещения. По теореме о взаимности перемещений: _ik=_ki. _ip– перемещение по направлению связи i, вызванное действием заданной нагрузки (грузовые члены). Перемещения, входящие в канонические уравнения удобно определять по методу Мора.

12) Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб

Известно, что равновесие может быть устойчивым, безразличным и неустойчивым.

Равновесие называется устойчивым, если при малом отклонении от положения равновесия система возвращается в первоначальное положение, как только будет устранена причина, вызывающая это отклонение; равновесие называется неустойчивым, если система не возвращается в исходное положение, а отклоняется от него еще больше; равновесие называется безразличным, если новое положение системы после отклонения от исходного остается положением равновесия и после удаления внешнего воздействия.

Р азрушение стержня может произойти не только потому, что будет нарушена прочность, но и оттого, что стержень не сохранит заданной формы. Например, изгиб при продольном сжатии тонкой линейки. Потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия центрально сжатого стержня называется продольным изгибом. Упругое равновесие устойчиво, если деформированное тело при любом малом отклонении от состояния равновесия стремится вернуться к первоначальному состоянию и возвращается к нему при удалении внешнего воздействия. Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости, называется критической нагрузкой Р_кр (критической силой). Допускаема нагрузка [P]=P_кр/n_у, n_у – нормативный коэффициент запаса устойчивости. Приближенное дифференциальное ур-ние упругой линии: , Е –модуль упругости материала стержня, М – изгибающий момент, J_min– наименьший момент инерции сечения стержня. При потере устойчивости прогиб, как правило, происходит перпендикулярно к оси наименьшей жесткости, относительно которой — J=J_min. Рассматривается приближенное дифф-ное ур-ие, т.к. потеря устойчивости возникает при малых деформациях. M=—Py, получаем однородное дифф-ное уравнение: , где . Решая дифф-ное ур-ие находим наименьшее значение критической силы – формула Эйлера: – формула дает значение критической силы для стержня с шарнирно закрепленными концами. При различных закреплениях: ,  – коэффициент приведения длины. При шарнирном закреплении обоих концов стержня =1; для стержня с заделанными концами =0,5; для стержня с одним заделанным и другим свободным концом =2; для стержня с одним заделанным и другим шарнирно закрепленным концом =0,7.

К

₁₁Х₁+₁₂Х₂+…+_1nХ_n+_1p=0

₂₁Х₁+₂₂Х₂+ +_2nХ_n+_2p=0

. . . . . . . . . . . .

_n1Х₁+_n2Х₂+ +_nnХ_n+_np=0

ритическое сжимающее напр-ние.: , – гибкость стержня, – наименьший главный радиус инерции площади сечения стержня. Эти формулы справедливы только тогда, когда напряжения _кр_пц– предел пропорциональности, т.е. в пределах применимости закона Гука. Формула Эйлера применима при гибкости стержня: , например, для стали Ст3 (С235) _кр100. Для случая <_кр критическое напряжение вычисляется по эмпирической (полученной экспериментально) формуле Ясинского: _кр= a — b, коэффициенты "a" и "b" в справочной лит-ре (Ст3: a=310МПа; b=1,14МПа).

Достаточно короткие стержни, для которых <₀=40 (для сталей) назыв-тся стержни малой гибкости. Такие стержни рассчитывают только на прочность, т.е. принимают _кр=_т (предел текучести) – для пластичных материалов и _кр=_В (временное сопротивление) – для хрупких материалов. При расчете стержней большой гибкости используют условие устойчивости: , F_брутто– полная площадь сечения,

(F_нетто=F_брутто—F_ослабл –площадь ослабленного сечения с учетом площади отверстий в сечении F_ослабл, например, от заклепок). [_у]=_кр/n_у, n_у– нормативный коэф. запаса устойчивости. Допускаемое напряжение [_у] выражается через основное допускаемое напряжение [], используемое при расчетах на прочность: [_у]=[],  – коэффициент уменьшения допускаемого напряжения для сжатых стержней (коэффициент продольного изгиба). Значения  приведены в табл. в учебниках и зависят от материала стержня и его гибкости (например, для стали Ст3 при =120 =0,45).

При проектировочном расчете требуемой площади сечения на первом шаге принимают ₁=0,5–0,6; находят: . Далее зная F_брутто, подбирают сечение, определяют J_min, i_min и , устанавливают по табл. фактическое ₁^I, если оно существенно отличается от ₁, расчет повторяется при среднем ₂= (₁+₁^I)/2. В результате второй попытки находят ₂^I, сравнивают с предыдущем значением и т.д., пока не достигнуто достаточно близкое совпадение. Обычно требуется 2-3 попытки.

Практические способы расчета на продольный изгиб

Расчет стоек на продольный изгиб затруднен тем, что критические напряжения для стоек малой, средней и большой гибкости определены различными формулами и не всегда заранее известно, какой из них надо пользоваться при определении критической нагрузки.

В расчетах стержней на продольный изгиб встречаются задачи двух типов.

Тип первый. Заданы размеры, материал и условия закрепления стержня и выбран коэффициент запаса устойчивости ny. Требуется определить допускаемую нагрузку Рдоп.

Определяем радиус инерции i поперечного сечения и гибкость стержня

Сравнивая найденное значение λ с λo (см. уравнение (13.14)), устанавливаем, применима ли Эйлера. Если λ>λo, то формула Эйлера применима и Рдоп можно найти из условия

.

(13.18)

Если λ<λo, то формула Эйлера не применима. В этом случае для определения Рдоп можно воспользоваться формулой (13.17) или уравнениями (13,15), (13.16).

В обоих случаях можно вести также расчет, определяя критические напряжения для найденного значения λ непосредственно по полной диаграмме критических напряжений.

Тип второй. Заданы нагрузка Р, коэффициент запаса устойчивости ny, материал, условия закрепления и форма поперечного сечения стержня. Требуется подобрать размеры сечения.

Форму сечения стараются подобрать так, чтобы моменты инерции относительно его главных центральных осей возможно меньше отличались друг от друга. В рассматриваемом случае неизвестна гибкость стержня λ, так как неизвестны размеры сечения, и, следовательно, неизвестно, по какой из формул для σк вести расчет. Задачу подбора размеров сечения приходится решать методом последовательных приближений.

Первоначально воспользуемся формулой Эйлера для определения Imin. Затем подберем размеры, соответствующие найденному значению Imin. Далее определим гибкость выбранного стержня и проверим, можно ли было вести расчет по формуле Эйлера.

Если λ>λo, то формула Эйлера применима и задача подбора размеров поперечного сечения решена.

Если λ<λo, то расчет по формуле Эйлера вести было нельзя и найденные размеры сечения меньше требуемых. В этом случае зададимся размерами, большими вычисленных по формуле Эйлера. Для принятых размеров определим Рдоп с помощью одной из формул: (13.15), (13.16), (13.17), и сравним найденное значение Рдоп=σкF/ny с заданной нагрузкой Р. Если разница между Рдоп и заданной нагрузкой Р меньше 5%, то останавливаемся на выбранных размерах, и расчет закончен. Если же разница больше 5%, то расчет надо повторить, изменив размеры сечения.

13) Концентрация напряжений