- •Основные гипотезы сопротивления материалов
- •Испытание металлов на растяжение
- •Испытание материалов на сжатие
- •Расчет на прочность
- •Потенциальная энергия деформации
- •Геометрические характеристики плоских фигур
- •Статические и осевые моменты инерции фигуры
- •Изменение моментов инерции при параллельном переносе и повороте осей координат
- •Главные оси инерции и главные моменты инерции
- •Закон парности касательных напряжений
- •Напряжения на наклонных площадках
- •Главные напряжения
- •Чистый сдвиг
- •Обобщенный закон Гука
- •Потенциальная энергия деформации
- •6.Теория прочности Общая запись условия прочности при сложном напряженном состоянии имеет вид:
- •Из теории изгиба известна зависимость кривизны балки следующего вида
- •11) Статически неопределимые системы
- •13.1 Основные понятия
- •13.3 Анализ распределения напряжений в простейших конструкциях с концентратором напряжений
- •13.4Коэфициент концентрации напряжений
- •13.5Способы снижения концентраций напряжения
Потенциальная энергия деформации
Потенциальная энергия деформации стержня - это энергия, накопленная в теле при его деформировании под действием внешних сил.
Как было установлено, в соответствии с законом Гука, при действии на стержень продольной силы F (рис.) возникает удлинение ∆L=FL/EA
Изменение силы на величину dF приводит к изменению удлинения на величину d∆L = dF*(L/EA). При этом сила F совершает элементарную работу dW = Fd∆L = F*(dFL/EA).
Суммируя элементарные работы, которые совершает сила при изменении от 0 до N, получаем
После подстановки, находим
Вследствие закона сохранения энергии, работа продольной силы N равна потенциальной энергии деформации Uo, следовательно
Удельной потенциальной энергией деформации U называется величина потенциальной энергии деформации, накопленной в единице объема тела.
Учитывая, что при растяжении и при сжатии деформации равномерно распределяются по стержню, а его объем V = Аl, получаем удельную потенциальную энергию.
Геометрические характеристики плоских фигур
Н а величины σ и ∆L влияют размеры и не оказывает влияния форма поперечного сечения стержня. Площадь поперечного сечения А полностью характеризует прочность и жесткость стержня. Эта величина является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения стержня.
При других видах деформаций стержня на величины напряжений и перемещений существенное влияние оказывает форма поперечного сечения стержня. Поэтому возникает необходимость для расчетов использовать различные геометрические характеристики плоских фигур.
Статические и осевые моменты инерции фигуры
Рассмотрим фигуру площади А (рис. ). Выделим на ней элементарную площадку dA с координатами х, у и радиусом-вектором р.
Статическими моментами инерции фигуры относительно осей х и у называются величины Sx и Sy, определяемые интегралами:
где х, у - расстояния от элементарной площадки dA до осей Ох и Оу.
Можно показать, что координаты центра тяжести фигуры хс, yc вычисляется по формулам:
Оси, проходящие через центр тяжести фигуры называются центральными осями. Очевидно, что для центральных осей хс и ус =0 и из последних формул следует, что для центральных осей статические моменты инерции фигуры равны нулю (Sx =Sy = О).
Величины называются осевыми моментами инерции фигуры относительно осей хиу соответственно.
Интеграл по площади фигуры называется полярным моментом инерции.
Величина - центробежный момент инерции фигуры.
Учитывая, что р2 = х2 +у2 получаем
Следовательно Ip=Ix+Iy
т.е. сумма осевых моментов инерции сечения равна полярному моменту инерции этого сечения.
Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, равным нулю.
Центробежный момент инерции фигуры относительно осей, хотя бы одна из которых является осью симметрии, равен нулю. Действительно, для симметричной фигуры всегда можно выделить два элемента ее площади (рис.), которые имеют одинаковые ординаты y1 =у2 = у и равные по величине, но противоположные по знаку абсциссы х1= х и х2 = - х. В этом случае