Изменение моментов инерции при параллельном переносе и повороте осей координат

Пусть известны моменты инерции фигуры относительно осей Ох, Оу. Определим эти величины относительно параллельных осей О1х1, О1у1. Из рис. видно, что для произвольной точки С фигуры x1=x+b; y1=y+a

М омент инерции сечения относительно оси O1х1

С учетом принятых обозначений получается

Аналогично находим

Если оси Ох, Оу - центральные оси, то S_x = S_y =0 и формулы принимают вид:

Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей Ох, Оу и моментами инерции относительно осей Ох₁ Oy1, повернутых на угол а (рис.). Можно показать, что

x1=xcosa + ysina y1=ycosa-xsina

Определим моменты инерции относительно осей Ох1 и Оу1.

Аналогично определяются Iy1,Ix1y1 . В результате получается

Сложим левые и правые части первых двух равенств :

Ix1+Iy1=Ix( =Ix+Iy

Следовательно, Ix1+Iy1= Ix+Iy

Получилось, что сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей остается постоянной и не изменяется при повороте системы координат.

Главные оси инерции и главные моменты инерции

Как видно из уравнений , с изменением угла поворота осей а каждая из величин Ix1 и Iy1 меняется, а сумма их остается не­изменной. Следовательно, существует такое значение а = а₀, при ко­тором моменты инерции достигают экстремальных значений, т.е. один из моментов инерции достигает своего максимального значения, а другой - принимает минимальное значение. Для нахождения значе­ния а₀ используем условие экстремума Ix1:

Положив в этом уравнении а = а₀, находим

следовательно,

- угол, на который главные оси поворачиваются относительно осей х и у.

Можно показать, что относительно главных осей центробежный момент инерции равен нулю.

Оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют­ся главными центральными осями.

Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Обозначим главные оси через Ох0 и Оуо. Главные моменты инер­ции определяются по формулам:

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных центральных осей инерции сечения.

- Определение главных моментов инерции Imax/min (из тетр.).

Прямоугольник:

Круг:

Кольцо: , где с=d/D – отношение диаметров кольца.\

.

Статический момент сложного сечения относи­тельно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей сечения относительно той же оси.

Момент инерции сечения сложной формы относительно некоторой оси, равен сумме моментов инерций его составных частей относи­тельно той же оси.

Таким образом, для вычисления момента инерции сложной фигуры, ее надо разбить на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур, а затем просуммировать их.

5. Основы теории напряженного-деформированного состояния

Напряженное состояние в точке

Как было показано, через точку тела можно провести множество сечений и получить, соответственно, множество значений напряжений σ,τ.

Напряженное состояние тела в точке характеризует совокуп­ность нормальных и касательных напряжений, действующих на всех сечениях, проходящих через данную точку.

Для исследования наряженного состояния в окрестности точки вы­делим элементарный прямоугольный параллелепипед с размерами ре­бер dx, dy и dz (рис. 2.3.1). По его граням будут действовать нормаль­ные и касательные напряжения.

В обозначении нормальных напря­жений используется один индекс, сов­падающий с обозначением оси, яв­ляющейся нормалью к данной пло­щадке. В обозначении касательных на­пряжений используются два индекса: первый совпадает с обозначением оси, перпендикулярно к которой проведена площадка, второй - с обозначением оси, параллельно которой направлено касательное напряжение. Например, τ _ху действует на площадке, перпенди­кулярной оси Ох и направлено параллельно оси Оу.

Используем принятое ранее правило знаков для напряжений. На рис. 2.3.1 показаны положительные напряжения, действующие на раз­личных гранях параллелепипеда.

Различают линейное, плоское и объемное напряженные состояния.

В общем случае возникает объемное напряженное состояние, при котором напряжения действуют на всех шести гранях выделенного параллелепипеда (рис. 2.3.1).

При плоском напряженном состоянии из тела можно выделить параллелепипед таким образом, что на двух его гранях напряжения бу­дут равны нулю (рис. 2.3.2).

При линейном напряженном состоянии из тела можно выделить параллелепипед таким образом, что только на двух его гранях будут действовать нормальные напряжения (рис. 2.3.3).

Линейное напряженное состояние возникает при растяжении (сжа­тии) стержней. Если из стержня выделить параллелепипед так, чтобы ось Ох (рис. 2.3.3) была параллельной продольной оси стержня, то на его гранях будут действовать только напряжения σ_х.

Р ассмотрим тонкую пластину, находящуюся под действием неко­торой системы сил, действующей по контуру в плоскости пластины (рис. 2.3.4). На лицевых поверхностях пластины напряжения отсутст­вуют. Так как толщина пластины мала, можно полагать, что напряже­ния отсутствуют и в сечениях, параллельных этим поверхностям. По­этому, если из пластины выделить параллелепипед, с осью Oz, пер­пендикулярной ее лицевым поверхностям, то на гранях параллелепи­педа будут действовать напряжения, показанные на рис. 2.3.2. Следо­вательно, в пластине реализуется плоское напряженное состояние. В аналогичных условиях будет находиться вертикальная стенка двутав­ра (рис. 2.3.5).