Геометрия признаков делимости

Предположительное направление изменения программы – применение геометрического стиля в решении арифметических задач. Вообще все примеры в математике имеют несколько форм представления, в частности: геометрический, алгебраический, функциональный.

Геометрия признаков делимости стыкуется со знакомством с цифрами. Есть в начальной школе упражнение, когда ученик пишет цифры столбиком (возможно по десять строк, а возможно по десять столбцов). После такой записи можно задать задание отметить в таблице числа, которые делятся на три, пять, семь, одиннадцать и т. д. Отдельная таблица с полным набором чисел – фрагмент учебного пособия. К нему добавляются «трафареты» признаков делимости, когда в бумаге или пластмассе вырезаны окошки, в которые видны только те числа, которые делятся на три, … Ребенок может наложить трафарет на таблицу и получить представление о делимости чисел, но до того он может сделать эти трафареты сам.

Таблица № 20

Пример геометрии делимости чисел на 3

		21			51			81
	12			42			72
3			33			63			93
		24			54			84
	15			45			75
6			36			66			96
		27			57			87
	18			48			78
9			39			69			99
		30			60			90

Имея такую таблицу, ученик легко видит числа, которые делятся на 3 и другой делитель, и может выявлять признаки делимости.

Поиск закона простых чисел

Данная задача имеет продолжение в следующей – как найти простые числа в таблице чисел. Оказывается, в десятичной системе числа с единицами 2, 4, 6, 8, 0 делятся на 2, а 5 – на 5, поэтому простые числа могут быть только в 1, 3, 7 и 9-й строках. Но это расположение чисел не оптимальное. Дело в том, что десятичная система счисления – это 2 × 5, но после 2 следующее простое число 3, поэтому десятичные числа можно расположить в шестистрочную систему.

Таблица № 21

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	7	13	19	25	31	37	43	49	55	61	67	73	79	85	91	97	103	109	115
2	8	14
3	9	15
4	10	16
5	11	17	23	29	35	41	47	53	59	65	71	77	83	89	95	101	107	113	119
6	12	18

Здесь в строках 2, 3, 4, 6 – числа непростые. Простые числа могут быть только в первой и пятой строках. Это максимальное сокращение, так как остается треть чисел. Далее можно для поиска простых чисел построить только две названные строки. Оказывается, в первой строке расположены две последовательности непростых чисел, остальные – простые. Непростые в первой строке – это числа, которые являются произведениями двух чисел из первой строки или двух из пятой. Остаток от деления на 6, т. е. то, в какую строку попадает число, определяется так: Mod 1 × mod 1 = mod1, Mod 5 × mod 5 = mod1, в последнем случае 5 × 5 = 25, остаток от деления на 6 равен 1. Назовем обе последовательности псевдоквадратами, так как они имеют аналогию с квадратами чисел, и окажется, что первый случай – псевдоквадрат чисел первой строки, второй случай – пятой строки.

Аналогично, в пятой строке одна последовательность, сюда могут попасть непростые числа, которые являются произведениями одного из первой строки и одного из пятой строк. Таким образом, имеет три последовательности.

Это исследование подкрепляется следующей закономерностью. Если в столбце какой-то строки есть число, делящееся на 5, то через пять столбцов будет тоже число, делящееся на 5, аналогично для 7, 11 и всех других чисел, так что мы можем перейти на язык номеров столбцов, т. е. переводим задачу на язык логической закономерности. Задача имеет аналоги. Следующее после 2 и 3 простое число – 5, поэтому мы можем построить десятичную тридцатистрочную систему чисел, тогда только 8 строк, т. е. 8/32 = ¼, содержат в себе простые числа. Закономерности, открытые в шестистрочной системе, более многообразны и наглядны в тридцатистрочной. Следующая система 210-строчная и т. д. Возникает задача исследовательского типа. На этих основаниях и формулируется задача выработки нового языка для поиска закономерностей простых чисел.

Развитие основания задачи позволяет конструировать новые версии языка решений и раскрывает перед ребенком математический мир во всей его красоте. Помимо математики мы тут вводим ученика в мир философии языка и математики (арифметики)¹⁶. Аналогично это происходит с задачами биномиального типа, с таблицами разного типа. Это систематизация переводит имеющуюся программу в более математизированное состояние.

Очевидно, что такой подход требует радикального изменения программы по математике.