3.1. Линейные образы

3.1.1. Прямая на плоскости

Виды уравнений

Уравнение	Наименование	Параметры
	общее уравнение прямой на плоскости	n=(A,B) - нормальный вектор прямой; , , - координаты фиксированных точек на прямой; k - угловой коэффициент прямой; a - отрезок, отсекаемый прямой на оси х; b - отрезок, отсекаемый прямой на оси y; q=(l,m) - направляющий вектор прямой
	уравнение прямой, проходящей через данную точку
	уравнение прямой с данным угловым коэффициентом
	уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
	уравнение прямой, проходящей через две точки
	уравнение прямой в отрезках
	каноническое уравнение прямой

 

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости:

; ,

где и -нормальный и направляющий векторы первой прямой;

и - нормальный и направляющий векторы второй прямой.

Условия параллельности двух прямых на плоскости:

1. ;

2. ;

3. , где и - угловые коэффициенты прямых.

Условия перпендикулярности двух прямых на плоскости:

1. n₁ n₂ n₁ n₂=0 или A₁A₂+B₁B₂=0;

2. q₁ q₂ q₁ q₂=0 или l_1l2+m_1m2=0;

3. 

3.1.2. Плоскость в пространстве

Виды уравнений

Уравнение	Наименование	Параметры
	общее уравнение плоскости в пространстве	- нормальный вектор плоскости; - координаты фиксированных точек на плоскости; a,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат; - направляющие косинусы нормального вектора плоскости; p - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость
	уравнение плоскости, проходящей через три точки
	уравнение плоскости в отрезках
	нормальное уравнение плоскости

Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора:

.

Формулы для вычисления угла между двумя плоскостями:

;

где и -нормальные векторы плоскостей.

Условие параллельности двух плоскостей:

.

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

n₁ n₂ n₁ n₂=0 или A₁A₂+B₁B₂+С₁С₂=0.

3.1.3. Прямая в пространстве

Виды уравнений

Уравнение	Наименование	Параметры
	общие уравнения прямой в пространстве	и - нормальные векторы плоскостей; - направляющий вектор прямой; , , - координаты фиксированных точек на прямой
	канонические уравнения прямой в пространстве
	параметрические уравнения прямой в пространстве
	уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми в пространстве:

,

где и - направляющие векторы прямых.

Условие параллельности двух прямых в пространстве:

.

Условие ортогональности двух прямых в пространстве:

q₁ q₂ q₁ q₂=0 или l₁l₂+m₁m₂+n₁n₂=0.

Тема 3. Аналитическая геометрия