5.4. Непрерывность функции

Функция непрерывна в точке , где , если предел функции при стремлении аргумента к a, существует и равен значению функции в этой точке.

Эквивалентные условия:

1. ;

2. , где ;

3. ;

4. .

Классификация точек разрыва:

разрыв I рода:

- устранимый – односторонние пределы существуют и равны;

- неустранимый (скачок) – односторонние пределы не равны;

разрыв II рода: предел функции в точке не существует.

Тема 6. Дифференциальное исчисление

назад | оглавление | вперёд

6.1. Определение производной

Пусть - определена и непрерывна в окрестности x₀

Производная функции в точке x₀ и ее обозначения:

6.2. Основные правила дифференцирования

Наименование	Функция	Производная
Линейная комбинация двух функций Частные случаи: a)умножение на постоянный множитель б)сумма (разность) двух функций
Произведение а) двух функций б) трех функций
Частное двух функций
Сложная функция	y=F(u), u=j (x)
Обратная функция
Параметрическое задание функции
Логарифмическое дифференцирование

 

6.3. Производные основных элементарных функций

№ п/п	Наименование функции	Функция и её производная
1	константа
2	степенная функция     частные случаи
3	показательная функция   частный случай
4	логарифмическая функция     частный случай
5	тригонометрические функции	; ; ; ;
6	обратные тригонометрические функции	; ; ;

6.4. Гиперболические функции

Наименование	Формула	Производная
Гиперболический синус
Гиперболический косинус
Гиперболический тангенс
Гиперболический котангенс

 

Обратные гиперболические функции

Наименование	Формула	Производная
Ареасинус
Ареакосинус
Ареатангенс
Ареакотангенс

 

Графики гиперболических функций:

 

6.5. Производные высших порядков и формула Тейлора

Производная второго порядка функции y=f(x) :

Производная n-го порядка (n-ая производная ) функции y=f(x):

Формула Тейлора:

где - остаточный член в форме Лагранжа.

Формула Маклорена (a=0):