- •1.1. Определители (детерминанты)
- •1.2. Матрицы
- •1.3. Системы линейных уравнений
- •3.1. Линейные образы
- •3.1.1. Прямая на плоскости
- •3.1.2. Плоскость в пространстве
- •3.1.3. Прямая в пространстве
- •3.2. Кривые второго порядка
- •3.3. Поверхности второго порядка
- •3.4. Преобразование координат
- •3.4.1. Преобразование координат на плоскости
- •3.4.2. Преобразование координат в пространстве
- •5.2. Основные элементарные функции
- •5.3. Теория пределов
- •5.4. Непрерывность функции
- •6.1. Определение производной
- •6.2. Основные правила дифференцирования
- •6.3. Производные основных элементарных функций
- •6.4. Гиперболические функции
- •6.5. Производные высших порядков и формула Тейлора
- •6.6. Исследование функций
- •7.1. Неопределенный интеграл
- •7.1.1. Определения и свойства
- •7.1.2. Основные методы интегрирования
- •7.1.3. Таблица интегралов
- •7.2. Определенный интеграл
- •7.2.1. Определения и свойства
- •7.2.2. Приложения определенного интеграла
7.2. Определенный интеграл
7.2.1. Определения и свойства
, где
Свойства определенного интеграла
Интеграл от суммы или разности двух функций: .
Внесение или вынесение постоянного множителя за знак интеграла:
.
Свойство аддитивности: .
Неотрицательность интеграла: если , , то .
Сохранение неравенства: если и , то .
Теорема о среднем: , где , - непрерывна на .
Формула Ньютона-Лейбница: , где - первообразная для .
Интегрирование по частям: .
Замена переменной:
а)
, где , , и непрерывна на , а непрерывна и монотонна на
б) , где u= (x), c= (a), d= (b).
7.2.2. Приложения определенного интеграла
Характеристика |
Вид функции |
Формула |
площадь криволинейной трапеции |
в декартовых координатах |
|
площадь криволинейного сектора |
в полярных координатах |
|
площадь криволинейной трапеции |
в параметрической форме |
|
длина дуги кривой |
в декартовых координатах |
|
длина дуги кривой |
в полярных координатах |
|
длина дуги кривой |
в параметрической форме |
|
объём тела вращения |
в декартовых координатах |
|
объём тела с заданным поперечным сечением |
|
|