- •1.1. Определители (детерминанты)
- •1.2. Матрицы
- •1.3. Системы линейных уравнений
- •3.1. Линейные образы
- •3.1.1. Прямая на плоскости
- •3.1.2. Плоскость в пространстве
- •3.1.3. Прямая в пространстве
- •3.2. Кривые второго порядка
- •3.3. Поверхности второго порядка
- •3.4. Преобразование координат
- •3.4.1. Преобразование координат на плоскости
- •3.4.2. Преобразование координат в пространстве
- •5.2. Основные элементарные функции
- •5.3. Теория пределов
- •5.4. Непрерывность функции
- •6.1. Определение производной
- •6.2. Основные правила дифференцирования
- •6.3. Производные основных элементарных функций
- •6.4. Гиперболические функции
- •6.5. Производные высших порядков и формула Тейлора
- •6.6. Исследование функций
- •7.1. Неопределенный интеграл
- •7.1.1. Определения и свойства
- •7.1.2. Основные методы интегрирования
- •7.1.3. Таблица интегралов
- •7.2. Определенный интеграл
- •7.2.1. Определения и свойства
- •7.2.2. Приложения определенного интеграла
6.6. Исследование функций
План полного исследования функции:
Элементарное исследование:
- найти область определения и область значений;
- выяснить общие свойства: четность(нечетность), периодичность;
- найти точки пересечения с осями координат;
- определить участки знакопостоянства.
2. Исследование с помощью предела:
- найти точки разрыва и выяснить их характер;
- найти область непрерывности;
- найти вертикальные и наклонные асимптоты.
3. Исследование с помощью :
- найти критические точки;
- определить интервалы возрастания и убывания функции;
- определить экстремумы.
4. Исследование с помощью :
- найти точки, в которых или не существует;
- найти участки выпуклости и вогнутости;
- определить точки перегиба.
5. Построение графика функции.
Рекомендации по применению плана исследования функции:
Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.
Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.
Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).
Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.
Тема 7. Интегральное исчисление |
|
7.1. Неопределенный интеграл
7.1.1. Определения и свойства
Функция называется первообразной для , если .
Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных для этой функции.
Обозначение: , где - произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла
Производная неопределенного интеграла: .
Дифференциал неопределенного интеграла: .
Неопределенный интеграл от дифференциала: .
Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций: ;
4а. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций: ;
4б. Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла:
7.1.2. Основные методы интегрирования
использование свойств неопределенного интеграла;
подведение под знак дифференциала;
метод замены переменной:
а) замена в интеграле :
где - функция, интегрируемая легче, чем исходная; - функция, обратная функции ; - первообразная функции ;
б) замена в интеграле вида :
;
метод интегрирования по частям: .
7.1.3. Таблица интегралов
№ п/п |
Интегрируемая функция |
Формула |
1 |
Степенная функция
частные случаи |
, |
2 |
Показательная функция частный случай |
|
3 |
Рациональные функции |
|
4 |
Иррациональные функции |
|
5 |
Тригонометрические функции
|
|
6 |
Содержит тригонометрические функции |
|