- •1.1. События и их виды. Относительная частота
- •1.2. Случайные величины и их виды, законы распределения
- •1.2.1. Случайные величины и их виды.
- •1.2.2. Законы распределения случайных величин
- •1.2.3. Функция распределения вероятностей
- •1.2.4. Плотность распределения вероятностей непрерывной
- •1.3. Числовые характеристики случайных величин.
- •1.3.1. Числовые характеристики дискретных
- •1.3.2. Нормальный закон распределения
- •1.3.3. Системы случайных величин
- •1.3.4. Ковариация и корреляция
- •1.4. Выборочный метод. Статистические оценки
- •1.4.1. Выборочный метод
- •1.4.2. Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Виды геодезических измерений
- •2.2. Погрешности геодезических измерений,
- •2.3. Критерии оценки точности измерений
- •3.1. Обработка ряда равноточных измерений
- •3.2. Понятие веса
- •3.3. Обработка ряда неравноточных измерений
- •4.1. Оценка точности геодезических измерений
- •4.2.Оценка точности функций геодезических измерений
- •5.1. Метод наименьших квадратов
- •5.2. Сущность и способы уравнивания
- •6.1. Теоретические основы параметрического способа
- •6. 2. Способ узлов Попова составления нормальных уравнений.
- •6. 3. Виды уравнений поправок
- •6. 4. Решение нормальных уравнений способом Гаусса
- •6. 5. Алгоритм уравнивания геодезических построений
- •7. 1. Некоторые виды условий в геодезических сетях
- •7. 2. Теория уравнивания коррелатным способом
- •7. 3. Способ полигонов Попова составления нормальных
- •7.4. Решение нормальных уравнений коррелат
- •7. 5. Оценка точности
2.3. Критерии оценки точности измерений
Для правильного использования результатов измерений необходимо
знать, с какой точностью, т.е. с какой степенью близости к истинному
значению измеряемой величины, они получены. Характеристикой точно-
сти отдельного измерения в теории погрешностей служит предложенная
Гауссом средняя квадратическая погрешность т, вычисляемая по сле-
дующей формуле:
m
21 22 ... 2n
n
[2 ]
n
,
(2.2)
где ∆i = xi – X ; п — число измерений данной величины, xi - результат из-
мерения величины, истинное значение которой равно X.
Эта формула применима для случаев, когда известно истинное зна-
чение измеряемой величины. Такие случаи в практике встречаются редко.
В то же время из измерений можно получить результат, наиболее близкий
к истинному значению, — арифметическую средину. Для этого случая
средняя квадратическая погрешность одного измерения подсчитывается
по формуле Бесселя:
m
[v 2 ]
n 1
,
(2.3)
где v — отклонения отдельных значений измеренной величины от ариф-
метической средины, называемые вероятнейшими погрешностями, при-
чем [v] = 0.
Точность арифметической средины, естественно, будет выше точ-
ности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая погрешность оп-
ределяется по формуле
i .
1 n
n i1
(2.3)
При п стремящемся к бесконечности между θ и m существует зави-
симость
θ 4/5m.
33
Часто в практике для контроля и повышения точности определяе-
мую величину измеряют дважды — в прямом и обратном направлениях,
например, длину линий, превышения между точками. Из двух полученных
значений за окончательное принимается среднее из них. В этом случае
средняя квадратическая погрешность одного измерения
m
[d 2 ]
2n
,
(2.4)
где d — разность двукратно измеренных величин; п — число разностей
(двойных измерений).
Вероятная или срединная погрешность r находится в середине
ряда, в котором все ошибки располагают по убыванию или возрастанию
их абсолютных значений
r 0,5( n/2 (n/2 1) )
(2.5)
При п стремящемся к бесконечности r = 2/3 m.
В соответствии с первым свойством случайных погрешностей для
абсолютной величины случайной погрешности при данных условиях из-
мерений существует допустимый предел, называемый предельной по-
грешностью. В строительных нормах предельная погрешность называет-
ся допускаемым отклонением.
Теорией погрешностей измерений доказывается, что абсолютное
большинство случайных погрешностей (68,3%) данного ряда измерений
находится в интервале от 0 до Ì т; в интервал от О до ¾ 2т попадает
95,4%, а от 0 до Ì3m — 99,7 % погрешностей. Таким образом, из 100 по-
грешностей данного ряда измерений лишь пять могут оказаться больше
или равны 2т, а из 1000 погрешностей только три будут больше или рав-
ны Зm. На основании этого в качестве предельной погрешности ∆пр для
данного ряда измерений принимается утроенная средняя квадратическая
погрешность, т. е. ∆пр = Зт. На практике во многих работах для повыше-
ния требований точности измерений принимают ∆пр = 2т. Погрешности
измерений, величины которых превосходят ∆пр, считают грубыми.
Все приведенные выше погрешности называют абсолютными.
Кроме абсолютных имеются относительные погрешности, которыми
называют отношение абсолютной ошибки к среднему значению измеряе-
мой величины. Относительные погрешности выражают дробью, числитель
которой равен единице, а знаменатель — отношению среднего значения
измеряемой величины к абсолютной ошибке. В зависимости от исполь-
34
зуемой абсолютной ошибки относительные ошибки называют: средней
квадратической относительной, средней относительной, вероятной отно-
сительной, предельной относительной.
Например, относительная средняя квадратическая погрешность из-
мерения линии длиной l = 110 м при mi = 2 см равна mi / l = 1/5500, а от-
носительная предельная погрешность при ∆пр = Зт = 6 см ∆пр / l =
= 1/1800.
Лекция 3. Исследования рядов измерений