- •1.1. События и их виды. Относительная частота
- •1.2. Случайные величины и их виды, законы распределения
- •1.2.1. Случайные величины и их виды.
- •1.2.2. Законы распределения случайных величин
- •1.2.3. Функция распределения вероятностей
- •1.2.4. Плотность распределения вероятностей непрерывной
- •1.3. Числовые характеристики случайных величин.
- •1.3.1. Числовые характеристики дискретных
- •1.3.2. Нормальный закон распределения
- •1.3.3. Системы случайных величин
- •1.3.4. Ковариация и корреляция
- •1.4. Выборочный метод. Статистические оценки
- •1.4.1. Выборочный метод
- •1.4.2. Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Виды геодезических измерений
- •2.2. Погрешности геодезических измерений,
- •2.3. Критерии оценки точности измерений
- •3.1. Обработка ряда равноточных измерений
- •3.2. Понятие веса
- •3.3. Обработка ряда неравноточных измерений
- •4.1. Оценка точности геодезических измерений
- •4.2.Оценка точности функций геодезических измерений
- •5.1. Метод наименьших квадратов
- •5.2. Сущность и способы уравнивания
- •6.1. Теоретические основы параметрического способа
- •6. 2. Способ узлов Попова составления нормальных уравнений.
- •6. 3. Виды уравнений поправок
- •6. 4. Решение нормальных уравнений способом Гаусса
- •6. 5. Алгоритм уравнивания геодезических построений
- •7. 1. Некоторые виды условий в геодезических сетях
- •7. 2. Теория уравнивания коррелатным способом
- •7. 3. Способ полигонов Попова составления нормальных
- •7.4. Решение нормальных уравнений коррелат
- •7. 5. Оценка точности
7. 3. Способ полигонов Попова составления нормальных
уравнений по чертежу сети
В нивелирных и полигонометрических сетях возникают условия,
которые называются полигонными.
Например, в свободной нивелирной сети полигоны состоят из замы-
кающихся ходов (рис. 7.1).
Схема несвободной нивелирной сети
Рис. 7.1
На схеме два таких полигона. Они дают простые условные уравне-
ния
- v2 - v3 + v4 + w1 = 0;
- v4 - v5 + v7 + w2 = 0.
Так как сеть несвободная, т.е. с избытком исходных данных, то есть
еще фиктивные ходы, в которых превышения определяются по разности
отметок исходных марок (М10, М21, М60).
Способ полигонов Попова применим во всех случаях, когда коэф-
фициенты условных уравнений равны Ì 1 и 0, а сеть образует систему
смежных полигонов. Составляется схема сети, на которой указываются:
61
номера ходов и их направления; номера полигонов и направление подсче-
та невязок в них; невязки и обратные веса ходов.
П р а в и л а определения коэффициентов нормальных уравнений:
1. Квадратичные коэффициенты равны сумме обратных весов ходов
соответствующих полигонов.
2. Симметричные коэффициенты равны обратным весам смежных
ходов со знаком "-".
3. Свободный член равен невязке полигона, по которому составлено
уравнение.
7.4. Решение нормальных уравнений коррелат
Рассмотрим способ и схему Гаусса. Способ Гаусса предусматрива-
ет последовательное исключение коррелат, начиная с первой, от уравне-
ния к уравнению с последовательным преобразованием коэффициентов
нормальных уравнений. Коррелаты определяют в обратном порядке от
последней по номеру к первой. В основе способа Гаусса лежит раз-
деление системы нормальных уравнений (7.15) на две подсистемы:
э к в и в а л е н т н у ю, описывающую последовательное исклю-
чение коррелат с одновременным преобразованием коэффициентов нор-
мальных уравнений:
[tаа] К1 + [tаb] К2 + [tас] К3 + ... + [tаq] Кr + v1 = 0;
[tbb1] К2 + [tbс1] K3 + ... + [tbq1] Кr, + [w21] = 0;
[tсc2] К3 + ... + [tcq2] Кr + [w32] = 0;
. . . . . . . . . . . . . . . . .
[tqq(r - 1)] Кr + [wr(r - 1)] = 0, (7.16)
и э л и м и н а ц и о н н у ю, позволяющую получить значения
коррелат в обратном ходе решения Кr, K(r-1), ..., К3, К2, Кr:
K1 = − tab
taa K2 − taa K3 −… − taa
w1
Kr − taa ;
K2 = −
tbc1
tbb1
K3 − … −
tbq1 w21
tbb1 Kr − tbb1 ;
K3 = − tcq2
tcc2 Kr − tcc2 ;
tbb1 tbb tab tab ;
tbc1 tbc tab tac ;
tbq1 tbq tab taq ;
w21 w2 tab w1 ;
tcc2 tcc tactac tbc1tbc1 ;
tcq2 tcq tactaq tbc1tbq1 ;
w 2 w taa w tbb11 w 1;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
wr r 1
Kr = − tqqr 1 . (7.17)
Преобразование, в результате которого получают эквивалентную
систему (7.16), называют т р е у г о л ь н ы м.
Коэффициенты нормальных уравнений преобразовывают по сле-
дующим правилам:
taa
taa
. . . . . . . . . . .
taa
taa
taa tbb1
. . . . . . . . . . . .
taa tbb1
tac tbc
3 3 1 2
. . . . . . . . . . . .
tqqr 1 tqq
taq2 tbq12 tcq22 tdq32 ...
taa tbb tcc2 tdd3
;
wr r 1 wr taq w1 tbq1w21 tcq2w3 2 tdq3 w4 3.
tcq2 tcq1 tbc1 tbc1tbq1 , где tcq1 tcq tactaq .
taa tbb1 tcc2 tdd3
В алгоритмах (7.16) цифры 1, 2, 3, ..., (r – 1) в скобках Гауссовых
сумм показывают порядок исключения (преобразования).
Можно показать, что раскрытие промежуточных алгоритмов подчи-
няется тем же правилам, например,
tbb1 tbb1 taa
Покажем процесс треугольного преобразования в алгоритмах Гаусса
на примере решения трех нормальных уравнений.
Для исключения коррелаты К1 умножим элементы первой строки
матрицы
[tab] [tbb] [tbc]
N = [tab] [tbb] [tbc]
[tac] [tdc] [tcc]
tab
tac
последовательно на коэффициенты
taa
и
taa
и полученные произ-
ведения вычтем из элементов, стоящих во второй и третьей строках мат-
рицы, т.е. найдем преобразованные элементы
[tbb1] = [tbb] − tab 2
tac 2
;
[tcc1] = [tcc] −
taa ;
[tbc1] = [tbc] − tabtac
После первого преобразования получим матрицу
на коэффициент tbc1
tac2 tbc12
[tcc2] = [tcc1] − tbc1
[taa] [tab] [tac]
[tbb1] [tbc1] .
[tbc1] [tcc1]
Чтобы исключить коррелату К2, умножим элементы второй строки
tbb1 . Произведение вычтем из элементов третьей стро-
ки, т. е. найдем
2
tbb1 = [tcc] − taa tbb1 .
В результате получим матрицу эквивалентных элементов
[taa] [tab]
[tac]
Nэк =
[tbb1] [tbc1] .
[tcc2]
Соберем коэффициенты исключения в матрицу элиминационных
строк
1
Nэл =
tab 1
taa
.
tac tbc 1 1
taa tbb 1
Произведение Nэк ∙ Nэл = N, т. е. приводит к первоначальной матрице
коэффициентов нормальных уравнений.
Нормальные уравнения решают по полной схеме Гаусса (табл.1).
При решении нормальных уравнений контролируют получение ко-
эффициентов эквивалентных уравнений
65
[taa] + [tab] + … + [taq] + w1 = [tas]2;
[tbb1] + … + [tbq1] + [w21] = [tbs1]2;
. . . . . . . .
[tqq (r – 1)] + [wr (r – 1)] = [tqs (r – 1)]2
и элиминационных строк
= tas 2
–1 – taa – taa – … – taa – taa
taa
;
–…– tbq1
–1 – tbb1
tbb1
w21
– tbb1
tbs12
= – tbb1
;
–1 – … – tcc2 – w3 2
=– tcs22
tcc2
tcc2 ;
–1 – w (r 1)
r tqs(r 1)2
tqq(r 1) = – tqq(r 1) .
Значение вычисленных по схеме Гаусса коррелат К1, К1, ..., Кr под-
ставляют в уравнение (7.15) и при помощи таблицы находят поправки vi.
Контролем являются равенства
[av] = – w1; [bc] = – w2; [cv] = – w3; …; [qv] = – wr,
а также
[pv2] = – [kw]; [pv2] = – [wr + 1 r]. (7.18)
66
Таблица 1
Схема Гаусса
Коэффи-
циент
К1 К2 ... Кr w s
[tab]
…
[taq]
w1
[tas]2
1/[taa]
−
tab
taa
…
−
[taq]
taa
−
w1
taa
−
tas 2
taa
[tbb]
…
[tbq]
w2
[tbs]2
1/[tbb1]
−
tab
taa
[tab]
…
−
tab
taa
[taq]
−
tab
taa w1
−
tab
taa [tas]
[tbb1]
…
[tbq1]
[w21]
[tbs1]2
−1
…
– tbq1
tbb1
–
w21
tbb1
tbs12
tbb1
… … … … … … …
[wr(r – 1)]
[tqs (r – 1)]2
1/[tqq(r –
1)]
[tqq(r – 1)]
–
wr (r 1)
tqq(r 1)
–
tqs(r 1)2
tqq(r 1)
Kr = – w (r 1)
tqq(r 1)
… …
[wr + 1 r] =
= [tssr + 1 r] =
= [pv2]
tbb1 r
–
tbq1
K
–
w21
tbb1
K1 =
−
tab
taa K2
…
−
[taq]
taa Kr
−
w1
taa
67
Выражения в таблице [wr + 1 r] и [tssr + 1 r]2 находят по формулам
w1 w 1
[wr + 1 r] = taa +
+ w 2
w r 1
tcc 2 + … + tqqr 1 ,
2
tbb1
3 r
2 2
[tssr + 1 r] = [w] −
w1tas2
taa
w21tbs12
tbb1
...
wr r 1tqsr 12
tqqr 1
. (7.19)
Заключительный контроль преобразований по схеме Гаусса – это
равенство выражений (7.18) и (7.19).