1.3.3. Системы случайных величин

Системы случайных величин могут включать различное число этих

величин.  Таким  системам  удовлетворяют  совместные  функции  распре-

деления. Например, для системы X, Y совместная функция

F (x, y) = P (X < x, Y < y), (1.21)

20

т.е. функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называ-

ют функцию F (x, y), определяющую для каждой пары чисел x, y вероят-

ность того, что Х примет значение меньшее х, и при этом Y примет значе-

ние меньшее у.

Геометрически (1.21) истолковывается так: F (x, y) есть вероятность

того, что случайная точка (X, Y) попадет в бесконечный квадрант с верши-

ной (x, y), расположенный левее и выше вершины (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Совместную плотность вероятностей выражают через совмест-

ную функцию распределения

f (x, y) = d²F(x y,)/dx d y , (1.22)

т.е. плотностью совместного распределения вероятностей f (x, y) двумер-

ной  непрерывной  случайной  величины  (X,  Y)  называют  вторую  смешан-

ную частную производную от функции распределения. Функцию F (x, y)

изображают поверхностью распределения.

Свойства совместной плотности:

1.  f (x, y)≥0;





2.

  

   

^{f ( x, y)dxdy  1}   −  двойной  несобственный  интеграл  с

бесконечными пределами от двумерной плотности  = 1.

Совместные функция и плотность связаны соотношением:





^F ^x, y  ^

  

    

^{f ( x, y)dxdy} .                              (1.23)

21

Плотности отдельных величин





f ( x) 

^ ^{f ( x, y)dy;}

f ( x) 

 ^{f ( x, y)dx.}



Плотность  распределения  одной  из  составляющих  равна  несобст-

венному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного

распределения системы, причем переменная интегрирования соответству-

ет другой составляющей.

Системе  случайных  величин  может  быть  присущ  условный  закон

распределения. Он проявляется в том, что одна случайная величина рас-

пределена при условии принятия другой определенного значения.

Условные функции и плотности распределения имеют вид:

F (x/у) и F (у/x);   f (x/у) и f (у/x).

Условной плотностью (x/y) распределения составляющих x при дан-

ном значении Y = y называют отношение плотности совместного распре-

деления f  (x,  y)  системы  (X,  Y)  к  плотности  распределения  f  (y)  состав-

ляющей Y:

φ (x /y) = f (x, y) / f2 (y). (1.24)

Аналогично определяется условная плотность составляющей  Y при

данном значении X = x:

Ψ (y/x) = f (x,y) / f1(x).

Числовой  характеристикой  условного  распределения  является  ус-

ловное математическое ожидание.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной вели-

чины Y при X = x называют произведение возможных значений Y на их ус-

ловные вероятности:

m

^{M (Y / X )  x) }  ^{y j p( y j / x).}

j 1

Для непрерывных случайных величин



(1.25)

M (Y / X  x) 

 ^{y ( y / x)dy.}



22

Условное математическое ожидание М(Y/X) есть функция от х:

М(Y/X) = f (x),

которую называют функцией регрессии Y на Х.