- •1.1. События и их виды. Относительная частота
- •1.2. Случайные величины и их виды, законы распределения
- •1.2.1. Случайные величины и их виды.
- •1.2.2. Законы распределения случайных величин
- •1.2.3. Функция распределения вероятностей
- •1.2.4. Плотность распределения вероятностей непрерывной
- •1.3. Числовые характеристики случайных величин.
- •1.3.1. Числовые характеристики дискретных
- •1.3.2. Нормальный закон распределения
- •1.3.3. Системы случайных величин
- •1.3.4. Ковариация и корреляция
- •1.4. Выборочный метод. Статистические оценки
- •1.4.1. Выборочный метод
- •1.4.2. Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Виды геодезических измерений
- •2.2. Погрешности геодезических измерений,
- •2.3. Критерии оценки точности измерений
- •3.1. Обработка ряда равноточных измерений
- •3.2. Понятие веса
- •3.3. Обработка ряда неравноточных измерений
- •4.1. Оценка точности геодезических измерений
- •4.2.Оценка точности функций геодезических измерений
- •5.1. Метод наименьших квадратов
- •5.2. Сущность и способы уравнивания
- •6.1. Теоретические основы параметрического способа
- •6. 2. Способ узлов Попова составления нормальных уравнений.
- •6. 3. Виды уравнений поправок
- •6. 4. Решение нормальных уравнений способом Гаусса
- •6. 5. Алгоритм уравнивания геодезических построений
- •7. 1. Некоторые виды условий в геодезических сетях
- •7. 2. Теория уравнивания коррелатным способом
- •7. 3. Способ полигонов Попова составления нормальных
- •7.4. Решение нормальных уравнений коррелат
- •7. 5. Оценка точности
4.2.Оценка точности функций геодезических измерений
В рассматриваемых выше примерах горизонтальные проложения,
приращения координат, координаты являются функциями от измеренных
величин
y = f (x1, x2, … , xn), (4.1)
где xi – аргументы функции f, которые как результаты измерений могут
быть равноточными и неравноточными, зависимыми (коррелированными)
и независимыми.
Результаты измерений xi содержат погрешности, поэтому их оценка
точности заключается в определении средних квдратических погрешно-
стей.
Также и функция y = f (xi) будет содержать среднюю квдратическую
погрешность my, которую необходимо определить.
Для получения оценки точности функции "у" находят сначала ее ис-
тинные погрешности, используя разложение исходной зависимости (4.1) в
ряд Тейлора
n
Δy = f (x1, x2, … , xn) + Fi' Δi , (4.2)
i1
где x1, x2, … , xn – результаты равноточных измерений; Fi' = df (x1, x2, … ,
xn) / dxi – частные производные; Δy – истинная погрешность функции; Δi -
истинная погрешность аргумента.
Вычтя из выражения (4.2) функцию (4.1), получим
40
n
Δy = (df / dxi) Δi , (4.3)
i1
т. е. в первом приближении истинная погрешность функции равна линей-
ной комбинации истинных погрешностей прямых измерений xi .
Используя свойства корреляционных моментов (Ki j – корреляцион-
ный момент, характеризующий тесноту корреляции), находим дисперсию
истинной погрешности функции (Δy)
σ + 2
σ2y =
i 1
Fi ' 2
2
i
i1 ji1
n n
Fi' Fj' KΔi Δj . (4.4)
Однако значение корреляционного момента зависит еще и от рассе-
янности случайных величин, которую в чистом виде определяет коэффи-
циент корреляции ri j = Ki j / σi σj . Коэффициент корреляции изменяется в
пределах -1 ≤ r ≤ 1. Если случайные величины Xi и Xj независимы, то
Ki j = 0 (также и ri j = 0 ).
Для некоррелированных погрешностей
n
i1
σ2i Fi' 2. (4.5)
Переход к дисперсии функции (4.4) соответствует в теории погреш-
ностей переходу к квадрату СКП my2, т.е. к выражению
n
my =
i1
(df / dxi)2 mi2 + 2
i j
(df / dxi) (df / dxj) ri j mi mj , (4.6)
где ri j mi mj ≈ lim [Δi Δj ] / n, при n → ∞.
Таким образом, СКП функции (4.1) коррелированных измерений (ар-
гументов) определяют по формуле
(df / dx) 2 mi2 + 2 ji
n
i 1
(df / dxi) (df / dxj) ri j mi mj . (4.7)
При некоррелированных измерениях формула (4.7) будет (ri j = 0)
41
n
my = (df
/ dxi )2 mi 2,
(4.8)
i 1
т.е. СКП функции общего вида равна корню квадратному из суммы произ-
ведений квадратов частных производных функции по каждой переменной
на квадрат ее СКП.
Формулы (4.7) и (4.8) полностью решают задачу оценки точности
функций общего вида.
Оценку точности любой другой функции рассматривают как частный
случай оценки точности функций общего вида.
Для функции у = х1 ¾ х2
my = m12 m22 .
При m1 = m2 = m
my = √ 2.
Для функции у = k x
my = k mx,
где k – постоянная величина (безошибочное число), а х – аргумент, полу-
ченный со случайной погрешностью Δх .
Обобщая формулу у = k x для случая многих аргументов у = k1 x1 ¾
... ¾ kn xn получаем
n
m y
k i2 m i2
.
i 1
В случае k1 = k2 = … = kn ; m1 = m2 = … = mn
my = k m √ n .
Эта формула отвечает оценке точности функции у = х1 ¾ х2 ¾ ... ¾ xn.
В случае неравноточных измерений каждое значение xi имеет вес Рi
Задача – определить вес функции Ру .
Основываясь на общей формуле определения веса и формулах (4.7) и
(4.8) найдем формулу для обратного веса функции:
от коррелированных измерений
42
n
1/ру =
i 1
(df / dxi)2 + 2
i j
(df / dxi) (df / dxj) ri j / Pxi Pxj ; (4.9)
от некоррелированных измерений
n
1/ру =
(df / dxi)2 1 / Pxi . (4.10)
i1
Примеры:
1. Измерена линия S со средней квадратической погрешностью ms и
угол наклона ν со средней квдратической погрешностью mν . Определить
среднюю квдратическую погрешность превышения h = S ∙ Sin ν.
По формуле (4.10) найдем
mh Sin2ν mS2 S2 Cos 2ν m2 / ρ2 ,
где Sin ν = dh/ds ; S Cos ν = dh/dν ; ρ = 206 265" .
2. Два угла треугольника измерены каждый с Р = 1. Определить ве-
роятность третьего (Р3) вычисленного угла.
γ = 180Ù - (α + β). Если известны СКП mα и mβ , то m2γ = m2α + m2β .
Согласно формуле (4.10) заменим квадрат СКП обратными весами
1/Рγ = 1/Рα + 1/Рβ .
Учтя, что Рα = Рβ = 1, получаем 1/Ру = 2, а Ру = 1/2.
Лекция 5. Уравнивание геодезических измерений.
Метод наименьших квадратов