1.3.3. Комплексные числа

Комплексные числа, пожалуй, являются наиболее общим типом числовых данных. Уже при решении квадратных уравнений появляются решения, в составе которых имеются квадратные корни из отрицательных чисел. Примером могут служить мнимые корни уравнения x²+1=0. А при решении кубических уравнений появляется необходимость в применении комплексных чисел в полной форме - имеющих как действительную, так и мнимую части.

Алгебраическая форма задания комплексного числа следующая:

Z=Re(Z) + i*Im(Z).

В этой форме числа содержат действительную Re(Z) и мнимую Im(Z) части. Сами по себе значения Re(Z) и Im(Z) могут иметь целые или действительные значения, но в записи числа Z мнимая часть содержит множитель i (или j), который является квадратным корнем из -1.

Тригонометрическая форма задания комплексного числа соответствует его представлению в полярной системе координат. Она задается длиной радиус-вектора комплексного числа r и углом :

Z = r (cos()-isin()).

Экспоненциальная форма комплексного числа соответствует следующему виду:

,

где M- модуль комплексного числа Z, а  - аргумент, или фаза.

Преобразование комплексных чисел из алгебраической формы в экспоненциальную выполняется с применением соотношений:

и

при и при .

Практически в дальнейшем мы не будем использовать операции с комплексными числами. Но вы можете убедиться в том, что они легко выполнимы в среде Mathcad. В частности, возможно их сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.

1.3.4. Строковые данные

Строки, как тип данных, – это просто цепочки символов, удовлетворяющих определенному стандарту, например ASCII. Обычно они вводятся в кавычках или (в некоторых системах) в апострофах и используются для создания текстовых комментариев и текстов, выводимых по ходу выполнения программы. Кроме того, строковые данные широко используются для управления порядком выполнения программ при использовании в них управляющих структур.

Часто используется и внутренний отличительный признак, который устанавливается при их вводе в строке ввода. Например, в системах Mathcad этим признаком является текстовый блок, работа с которым уже рассматривалась.

1.3.5. Символьные данные и выражения

Символьные данные - это данные, представленные математическими символами. Их нельзя путать со строковыми данными, поскольку строковые данные не подлежат исполнению, тогда как символьные данные обычно оцениваются и исполняются. Проще говоря, символьные данные – это математические формулы в аналитическом виде, которые могут подвергаться тем или иным математическим преобразованиям. Примеры таких преобразований уже приводились, например, на рис. 1.2. В дальнейшем мы изучим их более подробно.

1.4. Сложные типы данных

Сложными являются такие типы данных, которые являются представлением множественных и подчас разнохарактерных объектов под единым именем. Нередко такие данные включают, как часть себя, рассмотренные выше простые типы данных.

1.4.1. Множества и подмножества

Множество - первичное понятие, не имеющее строгого определения. Тем не менее некоторые определения используются. Например, Канторовское множество S есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое.

Множества обычно задаются в фигурных скобках и могут иметь имена, например, B={1, 2, 3, 4, 5} - множество оценок знания (баллов) по пятибалльной системе, Name={Иван, Петр, Слава} - множество имен мужчин и т. д. Важно отметить, что множество не может содержать повторяющиеся объекты, например, [1, 2, 1, 3, 1] – это уже не множество, поскольку объект 1 повторяется трижды. А вот {1, 2, 3} – это множество, а точнее, говоря подмножество множества {1, 2, 3, 4, 5} баллов.

Для множеств определен ряд операций: присваивания A={…}, равенства A=B, объединения AB, пересечения AB, разбиения, дополнения и т. д. Принадлежность элемента множеству обозначается знаком , например 3B.