4.3.3. Моделирование системы Дафинга с внешним воздействием
Поведение неавтономных нелинейных систем второго порядка, находящихся под внешним воздействием, может быть очень сложным. В этом можно убедиться на примере системы Дафинга, описывающей процессы в нелинейных резонаторах с внешним воздействием, например, в лазерных резонаторах. Пример численного моделирования процессов в такой системе дан на рис. 14.17.
Дифференциальное уравнение Дафинга второго порядка имеет дополнительный кубический член в левой части, а правая часть представляет внешнее косинусоидальное воздействие. Форма колебаний такой системы довольно сложна из-за наложения внутренних колебаний на внешние, причем частоты колебаний сильно различаются. В итоге время от времени может наступать автосинхронизация колебаний, но из-за нелинейности системы и изменения амплитуды собственных колебаний может наблюдаться срыв синхронизации, сопровождаемый скачкообразными и довольно хаотическими изменениями параметров системы. Тем не менее фазовый портрет системы имеет два фокуса, соответствующих более низкочастотной компоненте колебаний. Эти фокусы соответствуют статистической оценке наиболее вероятных видов (мод) колебаний.
Р
ис.
4.16. Решение уравнения Ван дер Поля
(вариант 2)
4.3.4. Хаос и моделирование аттрактора Лоренца()
Броуновское движение частиц, моделирование которого мы уже провели, и колебания в системе Дафинга являются проявлениями хаоса в природе. Наблюдая за изменениями курса акций, сходами ледников и снежных лавин или за колебаниями температуры, мы нередко убеждаемся в том, что наряду с вполне предсказуемыми изменениями того или иного параметра (например, повышением температуры летом и понижением зимой) нередко наблюдаются хаотические изменения, которые трудно или невозможно заранее предвидеть.
Иногда
«развал», казалось бы, устойчивой системы
приводит к резким изменениям ее поведения
- наш «черный вторник» или обвал рубля
в 1988 году тому наглядные примеры, как и
крупный террористический акт в центре
одной из самых стабильных стран мира -
США. Существует достаточно обоснованное
мнение, что хаотическое поведение систем
куда больше характерно для природы, чем
стационарное, происходящее с неизменяемыми
во времени параметрами. Так что хаос
стал одним из важных объектов изучения
современной наукой. Его моделирование
осуществляется на основе численных
метод
ов.
Рис. 14.17. Решение уравнения Дафинга
Чем сложнее система и чем большим количеством дифференциальных уравнений она описывается, тем больше вероятность возникновения в системе хаотических режимов - даже если она автономна. Изучение этого вопроса показало, что уже в системах из трех дифференциальных уравнений возможно возникновение хаотических режимов. Наглядным примером этого является аттрактор Лоренца, пример моделирования которого представлен на рис. 14.18. При определенных значениях параметров r и b и начальных параметров переменных поведение аттрактора (он в этом случае называется странным аттрактором) очень напоминает хаотические колебания в системе Дафинга.
Аттрактором
в теории колебаний называется притягивающая
область в фазовом пространстве. Причины
неустойчивости аттракторов связаны с
экспоненциальной неустойчивостью
системы в малых областях фазового
пространства. При этом наблюдаются
хаотические переходы из одной области
фазового пространства в другие области,
но при этом колебания могут не выходить
из некоторой более обширной области
фазового пространства. «Обвал» системы
означает переход в некоторое состояние,
резко отличающееся от других состояний,
т.е. выход за пределы ограниченного
фазового состояния системы. Такое
состояние может оказаться устойчивым
и приводит к переходу с
истемы
в статическое состояние, при котором
изменения ее параметров отсутствуют.
Рис. 14.18. Моделирование аттрактора Лоренца