4.8.6. Примеры вейвлет-обработки сигнала - временного ряда()
Рассмотрим наглядные примеры применения этих функций. На рис. 4.38 дан пример вейвлет-преобразований сигнала или временного ряда с безразмерным шагом по времени - условная 1.
Р
ис.
4.38. Пример выполнения дискретных
вейвлет-преобразований
На практике само по себе точное восстановление произвольного сигнала имеет скорее теоретическое, чем практическое значение. Для эффективного использования и изучения вейвлет-преобразований нужно уметь представлять вейвлет-коэффициенты временных рядов и сигналов и изменять их определенным образом.В этом примере над произвольным сложным сигналом (трапецеидальный импульс, на который наложены компоненты синусоидального и прямоугольного сигнала с меняющейся во времени частотой, и шум, заданный генератором случайных чисел), представленным 512 точками, осуществляются прямое и затем обратное вейвлет-преобразования, в результате чего исходная зависимость и весьма сложная временная зависимость практически полностью восстанавливаются. Об этом свидетельствует и ничтожная погрешность, вычисленная в документе.
В нижней части документа построены (в двух масштабах) графики исходного сигнала и сигнала, прошедшего прямое и затем обратное вейвлет-преобразования. Результат кажется потрясающим: сигналы совпадают настолько, что для разделения кривых на рисунке пришлось их раздвинуть по вертикали (этот прием мы будем использовать и в дальнейшем)!
На практике само по себе точное восстановление произвольного сигнала имеет скорее теоретическое, чем практическое значение. Для эффективного использования и изучения вейвлет-преобразований нужно уметь представлять вейвлет-коэффициенты временных рядов и сигналов и изменять их определенным образом.
Более продвинутую технику вейвлет-преобразований иллюстрирует фрагмент документа Mathcad, представленный на рис. 4.39. Здесь в первой же строке задается тот же сложный многокомпонентный нестационарный сигнал (только без шума, мешающего демонстрации некоторых применений вейвлетов). Остальная часть документа - это обработка сигнала, представленного только его вектором S.
Вначале определяется длина вектора length(S), и вычисляется максимально возможный уровень декомпозиции сигнала MaxL, и выполняется прямое вейвлет-преобразование. В результате образуется вектор W с той же длиной, что и исходный сигнал (512 компонентов).
Далее вычислена матрица вейвлет-коэффициентов C и построена спектрограмма значений элементов вектора W. Эта спектрограмма, как и Фурье-спектрограмма, также приведенная на рис. 4.39, практи чески не дает никакого представления о временной зависимости сигнала. Единственное, что она явно демонстрирует, так это быстрое убывание спектральных составляющих, свидетельствующее о возможности компрессии данных.
-
Р
ис.
4.39. Задание сложного сигнала и его прямое
вейвлет-преобразование
Однако есть одно чрезвычайно важное различие между спектрами Фурье и вейвлетов. Спектр Фурье не несет в явном виде информацию о временной зависимости сигнала, а вот вейвлет-спектр такую информацию несет. Нужно только суметь ее выделить из вектора W. Для этого нужно прежде всего выделить столбцы матрицы коэффициентов С. Рисунок 4.40 показывает, как это делается для получения графиков вейвлет-коэффициентов с помощью функции submatrix.
Рисунок 4.41 дает наглядное представление о возможностях вейвлет-технологии в обработке сложных сигналов и возникающих при этом погрешностях (см. их вычисление справа от рисунка). Видно, что полное вейвлет-преобразование восстанавливает исходный сигнал идеально - две нижние кривые. Вычисленный максимальный уровень декомпозиции и композиции MaxL на глаз тоже обеспечивает точное восстановление. Однако погрешность в 0,703 говорит о том, что точного восстановления все же нет.
Д
ля
изучения причин этого на рис. 4.42 показан
некоторый малый фрагмент временных
диаграмм, растянутый почти на весь
экран. Из него отчетливо видно, что
вблизи резких перепадов сигнала
наблюдаются характерные колебания,
очень напоминающие эффект Гиббса,
возникающий при преобразованиях Фурье.
С уменьшением уровня композиции
погрешность нарастает.
Р
ис.
4.40. Построение графиков вейвлет-коэффициентов
Рис. 4.41. Вейвлет-синтез сложного нестационарного сигнала
Следует отметить, что в Mathcad, в отличие от иных математических систем, рост уровня декомпозиции L и композиции означает лучшее приближение. На рис. 4.40 показаны исходный сигнал и вейвлет-композиция сигнала для уровней L=0, 2, 4, 6 и 8. Максимальный уровень композиции L=8 восстанавливает сигнал почти точно, что явно свидетельствует о преимуществе вейвлет-преобразований перед преобразованиями Фурье, где идеальное восстановление сигнала требует бесконечно большого числа гармоник (а на практике просто очень большого).
Любопытно, что графики вейвлет-приближений при малых L выявляют фрактальную структуру вейвлетов Добеши 4, которые используются в системе Mathcad. Напоминаем, что возрастание уровня декомпозиции на 1 увеличивает разрешение вдвое в соответствии с кратномасштабным диадическим методом вейвлет-анализа и синтеза.
Р
ис.
4.42. Временные растянутые диаграммы
вырезки сигнала
Вейвлет-преобразование на практике может использоваться в следующих целях:
компрессия сигналов (путем удаления части вейвлет-коэффициентов) с целью передачи сигналов (например, изображений) по линиям связи с малой пропускной способностью, например, модемным и линиям Интернета;
тонкая художественная обработка изображений (уже реализована в ряде пакетов графики, например, Corel Draw 10/11) и их запись в файлы;
компрессия массовых изображений (наглядный пример отпечатков пальцев для хранения их в органах милиции);
выявление закономерностей в сигналах и изображениях, в том числе новых;
предсказание событий и предотвращение возможных катастроф;
решение специальных математических задач.
Области применения вейвлетов в наше время интенсивно расширяются. Для осуществления вейвлет-преобразований в реальном масштабе времени уже созданы специальные микросхемы.