4.1.3. Моделирование преодоления самолетом звукового барьера

Рассмотрим еще один пример простого моделирования с применением эмпирической зависимости. Возможно, вы наблюдали за полетом самолета и вдруг до вас доносились раскаты грома или звук взрыва при абсолютно чистом небе. Не спешите прятаться - скорее всего эти звуки связаны с преодолением самолетом звукового барьера.

Физики давно вывели формулу, при которой это явление наблюдается. Эта формула определяет некоторое число Маха M, которое является отношением скорости тела или газовой струи к скорости звука в газе. Для самолета это число M(u, h) зависит от скорости полета самолета u и высоты полета h. Как только M достигает 1, самолет преодолевает звуковой барьер, обтекание его воздухом резко меняется, и это порождает звук выстрела или грома.

Рис. 4.3 представляет документ системы Mathcad, в котором задана известная формула M(u, h) и построены графики значений числа Маха от скорости полета на четырех высотах в 1, 5, 10 и 20 км (1 км = 1000 м). Пересечение этих графиков с горизонталью 1 позволяет найти момент, когда создаются условия для преодоления звукового барьера.

Рис. 4.3. Вычисление чисел Маха

К сожалению, найти этот момент по графикам достаточно точно трудно. Кроме того, хотелось бы получить зависимость скорости самолета от его высоты для моментов, когда он преодолевает звуковой барьер. Для этого нужно решать нелинейное уравнение M(u, h) - 1 = 0 относительно переменной u для заданного значения h. Для этого можно воспользоваться тем или иным численным методом. Рисунок 4.4 показывает не только такое решение, но и построение по его результатам зависимости u(h) при M=1.

Для решения используется функция системы Mathcad - root. Если вы пилотируете самолет, то, зная высоту его полета h (в метрах), можете легко вычислить скорость u (в м/c), нужную для преодоления звукового барьера. Скорость около 1240 км/час характерна при полетах на низкой высоте. С ростом высоты полета эта скорость заметно (в несколько раз) снижается. Однако она остается настолько высокой, что преодолеть ее пока могут только реактивные самолеты.

Р ис. 4.4. Построение зависимости u(h) для случая, когда M=1

4.2. Моделирование на основе конечно-разностных методов

4.2.1. Моделирование Броуновского движения частиц

В главе 3 мы уже отмечали роль конечно-разностных методов. Пора привести примеры их применения. Одним из самых простых и эффектных методов является имитация Броуновского движения частиц. Ограничимся 2-D случаем, когда частица может перемещаться в плоскости (x, y). Для имитации достаточно к координатам x и y каждый раз прибавлять случайные числа - рис. 4.5. Для этого используется функция генерации случайных чисел с нормальным распределением rnotm.

При каждом пуске этого документа получается новая картина из 500 перемещений частицы. Легко понять, что этот вид движения частиц способствует смешению разных фрагментов растворов. Вы можете самостоятельно составить документ, в котором будет имитироваться движение частиц в пространстве, но это уже сложная задача, пос кольку направления перемещения обычно не могут быть произвольными.

Рис. 4.5. Имитация Броуновского движения частиц

Хотя этот пример самый простой в этой главе, он демонстрирует моделирование при случайных приращениях параметров. Все другие примеры основаны на фиксированном изменении значения независимой переменной, например времени.

Отсутствие времени в решении данной задачи не случайно. Дело в том, что Броуновское движение обладает удивительным свойством - его характер практически не зависит от времени. Разумеется, в определенных пределах, если расстояния, проходимые частицами, заметно превышают размеры атомов и молекул и меньше размеров нашей планеты или вселенной. Можно во много раз уменьшить время наблюдения, и при этом мы будем видеть по-прежнему хаотические движения частиц, хотя и на меньшем расстоянии, чем при значительном времени наблюдения. Для таких процессов говорят, что они самоподобны [17].