- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 3
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 3
- •Введение
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Определение дифференциального уравнения первого порядка.
- •2. Решение уравнения. Задача Коши.
- •5. Уравнение с разделяющимися переменными.
- •6. Однородные уравнения первого порядка.
- •6. Линейные уравнения.
- •Согласно условию
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Основные понятия.
- •1.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •Основные понятия.
- •1.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
- •Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
- •1.5. Применение линейных дифференциальных уравнений к изучению колебательных явлений
- •1.6. Системы дифференциальных уравнений
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Кратные интегралы
- •2.1. Двойные интегралы
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле
- •2.4. Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов
- •Решение. Имеем
- •2. Вычисление площади. Как было установлено, площадь s области g может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле
- •Задачи к п. 2.1
- •Ответы к п. 2.1
- •2.2. Тройные интегралы
- •Задачи к п. 2.2
- •Ответы к п. 2.2
- •3. Криволинейные интегралы
- •3.1. Криволинейные интегралы Вычисление криволинейных интегралов
- •Таким образом, окончательно имеем
- •Пример 6. Вычислить интеграл где:
- •3.2. Формула Грина
- •3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •3.4. Интегрирование полных дифференциалов
- •Формула
- •Решение. В данном выражении функции
- •Решение. В данном случае функции
- •3.5. Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Поверхностные интегралы
- •4.1. Поверхностные интегралы. Вычисление поверхностных интегралов
- •4.2. Формула Остроградского
- •4.3. Формула Стокса
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Главление
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения............4
- •2. Кратные интегралы ……….……………....…………......63
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 3
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Ответы к п. 1
1. y = Cx, y = 2x. 2. xy = C, xy = 8. 3. 4. 5.
6. 7. 8.
9. . 10.
11. 12. 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. .
20. . 21. . 22. . 23. . 24. . 25. . 26. . 27. . 28. . 29. . 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. y = 1. 38. 39. 40.
41. 42. 43.
44. 45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52. 53.
54. 55. 56.
57. 58. 59.
60. 61. 62.
63. 64. 65. . 66. . 67. .
68. . 69. .
70. . 71. .
72. 73. .
74. 75. .
76. 77. .
78. . 79. .
80. 81. .
82. 83. .
84. 85.
86. 87.
88. 89.
90. 91.
92. 93.
94. 95.
96. . 97.
98. 99.
100. 101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119. 120.
121. 122.
123. 124.
125. 126.
127. 128.
129. 130.
131. 132.
133. 134.
135. 136.
137. 138.
139. 140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
2. Кратные интегралы
2.1. Двойные интегралы
Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функций двух переменных.
1. Определение и условия существования двойного интеграла. Пусть G некоторая замкнутая ограниченная область, a произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области.
Рис.
Рис. 8
Рис.
5
Разобьем область G произвольно на п частей не имеющих общих внутренних точек, с площадями (рис. 5). В каждой части выберем произвольную точку и составим сумму
(2.1)
которую назовем интегральной суммой для функции f(x,у) в области G. Назовем диаметром d(G) области G наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей
Определение. Если интегральная сумма (2.1) при имеет предел, равный I, то этот предел называется двойным интегралом от функции по области G и обозначается одним из следующих символов:
В этом случае функция называется интегрируемой в области G, G областью интегрирования, х и у переменными интегрирования, (или dxdy) элементом площади.
Давая определение двойного интеграла, мы предполагаем, что функция ограничена. Как и для функции одной переменной, это условие является необходимым условием интегрируемости. Однако оно не является достаточным, т. е. существуют ограниченные, но не интегрируемые функции. Примером таких функций является функция, определенная на квадрате следующим образом:
Доказательство неинтегрируемости такой функции непосредственно следует из определения двойного интеграла.
Теорема 1. Функция , непрерывная в замкнутой ограниченной области G, интегрируема в этой области.
Однако не следует считать, что двойной интеграл существует только для непрерывных функций. Имеет место более общая теорема.
Теорема 2. Функция , ограниченная в замкнутой ограниченной области G и непрерывная в ней всюду, кроме точек, лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида или , интегрируема в этой области.
2
Рис.
6
Аналогично тому, как задача о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к установлению геометрического смысла определенного интеграла, так и задача о вычислении объема тела Р приводит к геометрическому толкованию двойного интеграла.
Действительно, в данном случае интегральная сумма (2.1) представляет собой сумму объемов прямых цилиндров с площадями оснований и высотами , которую можно принять за приближенное значение объема тела Р:
Это приближенное равенство тем точнее, чем мельче разбиение области G на части. При переходе к пределу при это приближенное равенство становится точным:
Так как функция интегрируема, то предел интегральной суммы существует и равен двойному интегралу от этой функции по области G. Следовательно,
Отсюда следует геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от непрерывной, неотрицательной функции равен объему криволинейного цилиндра.
Замечание. Если положить =1 всюду в области G то непосредственно из определения двойного интеграла получим выражение площади s области G в виде двойного интеграла:
3. Свойства двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла.
1°. Если - произвольное число и функция интегрируема в области G, то функция тоже интегрируема в G и , т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
2°. Если функции и интегрируемы в области G, то их сумма также интегрируема в этой области и
.
3°. Если область G является объединением областей и , не имеющих общих внутренних точек, в каждой из которых функция интегрируема, то в области G эта функция также интегрируема и
.
4°. Теорема о среднем. Если функция непрерывна в области G, то в этой области найдется такая точка , что , где s –площадь G.
Итак, рассмотрены определение и основные свойств; двойного интеграла, условия существования, выяснен en геометрический смысл. Теперь рассмотрим способы вычисления двойных интегралов.
Рис.
7
Рис.
8
. (2.2)
З а м е ч а н и е 1. Если в теореме 3 поменять ролями x и y, то теорема будет утверждать существование повторного интеграла и равенства
. (2.3)
Пример 1. Вычислить интеграл по области G= .
Решение. Область G представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой (рис. 8).Следовательно, , . По формуле (2.2) имеем
Данный интеграл можно вычислить и по формуле (2.3), если в G поменять х и у ролями. Тогда треугольник определяется неравенствами , откуда , , и легко проверить, что интеграл:
имеет то же самое значение.
Рис.
9
получим координаты точек O(0;0), A(1;1). Таким образом x меняется от 0 до 1 ( ). По формуле (2.2) получим:
Пример 3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .
Решение. Область интегрирования ограничена прямыми , , кубической параболой и параболой (рис. 10).
Рис. 10
Определим пределы интегрирования. Решая систему уравнений , получим - нижний предел интегрирования по , - верхний предел. Чтобы найти пределы изменения по во внутреннем интеграле, выразим через из уравнения кривой, которая ограничивает область интегрирования слева ( ) получим , а из уравнения кривой, которая ограничивает область справа, получим . Поэтому справедливо равенство
Замечание 2. Если область G не удовлетворяет условиям теоремы 3 (например, вертикальные или горизонтальные прямые пересекают ее границу более чем в двух точках), то необходимо область G разбить на части каждая из которых удовлетворяла бы условиям теоремы 3, и сводить к повторному каждый из соответствующих двойных интегралов отдельно.