- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 3
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 3
- •Введение
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Определение дифференциального уравнения первого порядка.
- •2. Решение уравнения. Задача Коши.
- •5. Уравнение с разделяющимися переменными.
- •6. Однородные уравнения первого порядка.
- •6. Линейные уравнения.
- •Согласно условию
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Основные понятия.
- •1.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •Основные понятия.
- •1.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
- •Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
- •1.5. Применение линейных дифференциальных уравнений к изучению колебательных явлений
- •1.6. Системы дифференциальных уравнений
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Кратные интегралы
- •2.1. Двойные интегралы
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле
- •2.4. Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов
- •Решение. Имеем
- •2. Вычисление площади. Как было установлено, площадь s области g может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле
- •Задачи к п. 2.1
- •Ответы к п. 2.1
- •2.2. Тройные интегралы
- •Задачи к п. 2.2
- •Ответы к п. 2.2
- •3. Криволинейные интегралы
- •3.1. Криволинейные интегралы Вычисление криволинейных интегралов
- •Таким образом, окончательно имеем
- •Пример 6. Вычислить интеграл где:
- •3.2. Формула Грина
- •3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •3.4. Интегрирование полных дифференциалов
- •Формула
- •Решение. В данном выражении функции
- •Решение. В данном случае функции
- •3.5. Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Поверхностные интегралы
- •4.1. Поверхностные интегралы. Вычисление поверхностных интегралов
- •4.2. Формула Остроградского
- •4.3. Формула Стокса
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Главление
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения............4
- •2. Кратные интегралы ……….……………....…………......63
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 3
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Как уже отмечалось, в некоторых случаях величина криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек А и В пути интегрирования. Выясним, при каких условиях такая независимость имеет место. В исследовании этого вопроса важную роль играет формула Грина.
Уточним, какие области будут рассматриваться далее.
Определение. Плоская область G называется односвязной, если каков бы ни был замкнутый контур L, лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром часть плоскости целиком принадлежит области G.
Образно говоря, односвязность области означает, что область не имеет «дыр». Например, односвязными областями являются внутренность круга, эллипса, многоугольника и т. п. Простейшим примером неодносвязной области служит область, заключенная между окружностями и . В самом деле, окружность , лежащая в этой области, содержит внутри себя точки, которые не при-надлежат данной области, например начало координат (0;0).
Теорема 2. Пусть функции и определены и непрерывны вместе со своими частными производными и в некоторой замкнутой односвязной области G. Тогда следующие четыре условия эквивалентны, т. е. выполнение любого из них влечет за собой выполнение остальных трех:
1) для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой L, расположенной в G,
2) для любых двух точек А и В области G значение интеграла не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в G;
3) выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции, определенной в области G. Иными словами, существует такая функция , определенная в G, что
4) в области G всюду
З а м е ч а н и е. Из эквивалентности условий 1) 4) теоремы 2, в частности, следует, что условие 3) представляет собой необходимое и достаточное условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от выбора пути интегрирования. Однако для приложений более удобным необходимым и достаточным условием является условие 4).
Теорема 2 позволяет легко решать вопрос о том, зависит или не зависит криволинейный интеграл от выбора пути интегрирования. Так, например, в любой области зависит от выбора пути, так как Необходимо обратить внимание на то, что все условия теоремы существенны. Рассмотрим, например, интеграл
где L окружность радиуса R с центром в начале координат. Имеем:
Видим, что условие независимости интеграла от выбора пути формально выполнено, но, однако, интеграл по окружности L нулю не равен. Действительно, задав окружность уравнениями , , получим
На самом деле никакого противоречия с теоремой здесь нет. Просто не выполнено одно из условий теоремы: функции Р и Q и их частные производные и не определены в точке (0;0), а круг, ограниченный окружностью L, с выброшенной точкой (0;0) уже не является односвязной областью (начало координат играет роль “дырки”).
3.4. Интегрирование полных дифференциалов
Из рассмотрения условий независимости криволинейного интеграла от выбора пути интегрирования непосредственно вытекает решение вопроса об интегрировании полных дифференциалов и о нахождении функции по ее полному дифференциалу.
Было отмечено, что если функции и и их частные производные и непрерывны в замкнутой области G, то выражение
(3.14)
является полным дифференциалом некоторой функции в этой области в том и только в том случае, когда = . Далее мы показали, что если это равенство выполнено, то условию удовлетворяет функция
(3.15)
Пусть теперь выражение (3.14) является полным дифференциалом некоторой функции Ф(х,у). Тогда и разность величина постоянная. Следовательно,
(3.16)
где С некоторая постоянная. Полагая , из (3.15) получаем а из (3.16) значение постоянной . Теперь (3.16) можно записать в виде а равенство (3.15) в виде
Если, наконец, положить , то получим формулу
(3.17)
Формула (3.17) аналогична формуле Ньютона-Лейбница, но справедлива только при условии независимости криволинейного интеграла от выбора пути интегрирования.
Используя полученные результаты, теперь можно указать способ восстановления функции , полный дифференциал которой есть заданное выражение (3.14).