- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 3
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 3
- •Введение
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Определение дифференциального уравнения первого порядка.
- •2. Решение уравнения. Задача Коши.
- •5. Уравнение с разделяющимися переменными.
- •6. Однородные уравнения первого порядка.
- •6. Линейные уравнения.
- •Согласно условию
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Основные понятия.
- •1.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •Основные понятия.
- •1.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
- •Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
- •1.5. Применение линейных дифференциальных уравнений к изучению колебательных явлений
- •1.6. Системы дифференциальных уравнений
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Кратные интегралы
- •2.1. Двойные интегралы
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле
- •2.4. Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов
- •Решение. Имеем
- •2. Вычисление площади. Как было установлено, площадь s области g может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле
- •Задачи к п. 2.1
- •Ответы к п. 2.1
- •2.2. Тройные интегралы
- •Задачи к п. 2.2
- •Ответы к п. 2.2
- •3. Криволинейные интегралы
- •3.1. Криволинейные интегралы Вычисление криволинейных интегралов
- •Таким образом, окончательно имеем
- •Пример 6. Вычислить интеграл где:
- •3.2. Формула Грина
- •3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •3.4. Интегрирование полных дифференциалов
- •Формула
- •Решение. В данном выражении функции
- •Решение. В данном случае функции
- •3.5. Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Поверхностные интегралы
- •4.1. Поверхностные интегралы. Вычисление поверхностных интегралов
- •4.2. Формула Остроградского
- •4.3. Формула Стокса
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Главление
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения............4
- •2. Кратные интегралы ……….……………....…………......63
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 3
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.4. Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов
1. Вычисление объема. Как известно, объем v криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью , снизу плоскостью и с боковых сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси , а направляющей служит контур области G, вычисляется по формуле , т.е. с помощью двойных интегралов можно вычислять объемы тел.
Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , и (рис. 14).
Решение. Имеем где G треугольная область интегрирования, ограниченная прямыми . Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаем
Рис.
14
Рис. 15
Пример 2. Найти объем v тела, ограниченного параболоидом , цилиндром и плоскостями и (рис. 16).
Рис. 16
Решение. Имеем
2. Вычисление площади. Как было установлено, площадь s области g может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле
Эта формула более универсальна, чем соответствующая формула, выражающая площадь криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла, так как данная формула применима не только к криволинейным трапециям, но и к фигурам, расположенным произвольно по отношению к координатным осям.
Пример 3. Вычислить площадь области G, ограниченной линиями (рис. 15).
Решение. Область G представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой справа прямой . Решая совместно уравнения параболы и прямой, находим точки их пересечения: . Следовательно, искомая площадь
При вычислении двойных интегралов с помощью повторного интегрирования одним из главных моментов является расстановка пределов интегрирования. Если в данном примере выбрать другой порядок повторного интегрирования (сначала по у, а затем по х), то область G предварительно пришлось бы разбить на две части (осью Оу), так как она ограничена сверху линией, заданной на отрезках и двумя различными уравнениями. Разумеется, был бы получен тот же результат, однако вычисления оказались бы более громоздкими.
Поэтому полезно запомнить следующее правило: если все прямые, параллельные оси Оу, входят в область интегрирования G на линии, заданной одним уравнением, и выходят из области на линии, заданной одним уравнением, то внутренний интеграл целесообразно брать по переменной у, а внешний по х; аналогично, если все прямые, параллельные оси Ох, входят в область интегрирования на линии, заданной одним уравнением (в данном случае на параболе), и выходят на линии, заданной одним уравнением (в данном случае на прямой), то внутренний интеграл следует брать по переменной х, а внешний по у: в этом случае область интегрирования не нужно разбивать на части.
3. Вычисление площади поверхности. С помощью двойных интегралов можно вычислять площади не только плоских фигур, но и кривых поверхностей.
П усть поверхность S задана уравнением , проекцией S на плоскость Оху является область G (рис. 17) и в этой области функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные и .
Формула, с помощью которой вычисляется площадь поверхности, имеет вид
(2.9)
Пример 4. Вычислить площадь той части плоскости , которая заключена в первом октанте (рис. 18).
Решение. Так как функция и область G, являющаяся проекцией данной части поверхности на плоскость Оху, удовлетворяют сформулированным выше условиям, то искомую площадь можно вычислить по формуле (2.9). Имеем
;
Областью G является треугольник, ограниченный осями Ox, Оу и прямой , получаемой из уравнения данной плоскости при . Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаем
4. Вычисление массы пластинки. Рассмотрим на плоскости Оху материальную пластинку, т. е. некоторую область G, по которой распределена масса m с плотностью (х, у). Вычислим по заданной плотности массу т этой пластинки, считая, что непрерывная функция. Разобьем G произвольно на п частей и обозначим через массы этих частей. В каждой части произвольно возьмем точку . Массу каждой такой части можно считать приближенно равной , где площадь , а масса т всей пластинки приближенно равна сумме которая является интегральной суммой для непрерывной функции области G. В пределе при очевидно, получим точное значение массы пластинки, равное двойному интегралу от функции (х, у) по области G, т. е.
(2.10)
Пример 5. Определить массу квадратной пластинки со стороной 2а, если плотность (х, у) в каждой точке М(х; у) пропорциональна квадрату расстояния от точки М до точки пересечения диагоналей, и коэффициент пропорциональности равен k.
Решение. Выберем систему координат так, как показано на рис. 19. После этого можно найти функцию (х, у) исходя из условия задачи. Пусть произвольная точка квадратной пластинки. Тогда квадрат расстояния от точки М до точки пересечения диагоналей равен Следовательно, плотность в точке М
По формуле (2.10) имеем
Учитывая, что подынтегральная функция четна относительно х и у, а область интегрирования симметрична относительно осей координат, можно ограничиться вычислением интеграла по той части области G, которая расположена в первой четверти, т. е.
5. Вычисление координат центра масс пластинки. Найдем координаты центра масс пластинки, занимающей в плоскости Оху некоторую область G. Пусть - плотность этой пластинки в точке , причем -непрерывная функция. Разбив область G на части , выберем в каждой из этих частей некоторую точку и будем приближенно считать массу каждой из частей пластинки равной ( - площадь ). Если считать, что каждая из этих масс сосредоточена в одной точке, а именно в точке , то для координат и центра масс такой системы материальных точек получим следующие выражения:
(2.11)
которые представляют собой приближенные значения координат центра масс пластинки. Чтобы получить точные значения этих координат, необходимо в (2.11) перейти к пределу при При этом интегральные суммы перейдут в соответствующие интегралы и мы получим, что координаты центра масс пластинки определяются формулами
(2.11а)
где масса пластинки.
Если пластинка однородна, т. е. то формулы координат центра масс упрощаются:
(2.12)
Величины и
в формулах (2.11а) называются статическими моментами пластинки относительно осей Оу и Ох.
Т аким образом, вычисление координат центра масс пластинки сводится к вычислению трех двойных интегралов.
Пример 6. Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной двумя параболами и (рис. 20).
Решение. Координаты центра масс данной пластинки найдем по формулам (2.12). Сначала вычислим массу пластинки
Далее вычислим ее статические моменты относительно осей координат:
Затем по формулам (2.12) найдем
Итак,
6. Вычисление момента инерции пластинки. Как известно, момент инерции материальной точки относительно некоторой оси равен произведению массы точки на квадрат ее расстояния до этой оси, а момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции этих точек.
Пусть область G плоскости Оху занята пластинкой, имеющей непрерывную плотность . Разбив область G на части , площади которых равны , и выбрав в каждой из них некоторую точку , заменим пластинку системой материальных точек с массами и координатами . Момент инерции такой системы точечных масс, например, относительно оси Оу равен . Примем это выражение за приближенное значение момента инерции пластинки. Но оно же представляет собой интегральную сумму для непрерывной функции Переходя к пределу при получаем для момента инерции пластинки относительно оси Оу следующую формулу:
Аналогично, момент инерции пластинки относительно оси Ох равен
Найдем момент инерции пластинки относительно начала координат. Принимая во внимание, что момент инерции материальной точки с массой т относительно начала координат равен , рассуждая, как и выше, получаем, что
(2.13)
Пример 7. Найти момент инерции круга радиуса R с постоянной плотностью относительно начала координат.
Решение. По формуле (2.13) имеем
Перейдем к полярным координатам. Уравнение окружности (границы круга) в полярных координатах имеет вид . Поэтому