- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 3
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 3
- •Введение
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Определение дифференциального уравнения первого порядка.
- •2. Решение уравнения. Задача Коши.
- •5. Уравнение с разделяющимися переменными.
- •6. Однородные уравнения первого порядка.
- •6. Линейные уравнения.
- •Согласно условию
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Основные понятия.
- •1.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •Основные понятия.
- •1.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
- •Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
- •1.5. Применение линейных дифференциальных уравнений к изучению колебательных явлений
- •1.6. Системы дифференциальных уравнений
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Кратные интегралы
- •2.1. Двойные интегралы
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле
- •2.4. Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов
- •Решение. Имеем
- •2. Вычисление площади. Как было установлено, площадь s области g может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле
- •Задачи к п. 2.1
- •Ответы к п. 2.1
- •2.2. Тройные интегралы
- •Задачи к п. 2.2
- •Ответы к п. 2.2
- •3. Криволинейные интегралы
- •3.1. Криволинейные интегралы Вычисление криволинейных интегралов
- •Таким образом, окончательно имеем
- •Пример 6. Вычислить интеграл где:
- •3.2. Формула Грина
- •3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •3.4. Интегрирование полных дифференциалов
- •Формула
- •Решение. В данном выражении функции
- •Решение. В данном случае функции
- •3.5. Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Поверхностные интегралы
- •4.1. Поверхностные интегралы. Вычисление поверхностных интегралов
- •4.2. Формула Остроградского
- •4.3. Формула Стокса
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Главление
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения............4
- •2. Кратные интегралы ……….……………....…………......63
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 3
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Таким образом, окончательно имеем
Пример 6. Вычислить интеграл где:
а) АВ—прямая , соединяющая точки (0; 0) и (1;1);
б) АВ — парабола , соединяющая те же точки;
в ) АВ—ломаная, проходящая через точки (0; 0), (1; 0), (1;1) (рис. 35).
Решение. По третьей формуле (3.10) имеем:
а)
б)
в)
Заметим, что взяв три различных пути, соединяющих одни и те же точки, мы получили три одинаковых результата. Это обстоятельство не является случайным. Причина его будет раскрыта в п. 3.3.
Пусть гладкая кривая АВ задана параметрически уравнениями , , , причем изменению t от до соответствует движение точки по кривой от А до В (не обязательно, чтобы было меньше ). Тогда
Аналогичные формулы имеют место и для интегралов по координатам y и z.
Пример 7. Вычислить криволинейный интеграл где АВ – одни виток винтовой линии
, , от точки А(1,0,0) до точки В(1,0,4).
Решение. Вдоль дуги АВ параметр t изменяется от 0 до 2. Тогда,
5. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Обозначим через и углы, составляемые с осями координат направленной касательной к кривой АВ в точке М(х; у) (рис. 36); тогда получим соотношения
. (3.11)
Заменяя в криволинейных интегралах второго рода dx и dy их выражениями (3.11), преобразуем эти интегралы в криволинейные интегралы первого рода:
(3.12)
Таким образом, формулы (3.12) выражают криволинейные интегралы второго рода через криволинейные интегралы первого рода и устанавливают связь между ними. При изменении направления движения точки по кривой на противоположное , , dx и dy меняют знак, и формулы (3.12) остаются в силе.
3.2. Формула Грина
Формула Грина устанавливает связь между криволи-нейными и двойными интегралами. Она имеет широкое применение как в самом анализе, так и в его приложениях.
Приведем эту формулу для замкнутой области, граница которой пересекается с прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках (см. рис. 37). Для краткости будем называть такие области простыми. Предполагается, что контур, ограничивающий область, гладкий или кусочно-гладкий.
Теорема 1. Пусть G некоторая простая замкнутая область, ограниченная контуром L, и пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны вместе со своими частными производными и в данной области. Тогда имеет место формула
(3.13)
называемая формулой Грина.
З а м е ч а н и е. Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области G, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей. Действительно, пусть область G с границей L имеет вид, изображенный на рис. 38. Разобьем ее на две простые области: и , для каждой из которых справедлива формула (3.13). Напишем отдельно формулу Грина для и и сложим почленно полученные равенства. Слева будем иметь двойной интеграл по всей области G, а справа криволинейный интеграл по контуру L области G, так как криволинейный интеграл по вспомогательной кривой берется дважды в противоположных направлениях и при суммировании взаимно уничтожается.
Пример. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл где L окружность .
Решение. Функции , и непрерывны в замкнутом круге . Следовательно, по теореме 1 формула Грина применима к данному интегралу. Имеем
Заметим, что полученный результат легко проверить непосредственно вычислением данного интеграла.