- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 3
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 3
- •Введение
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Определение дифференциального уравнения первого порядка.
- •2. Решение уравнения. Задача Коши.
- •5. Уравнение с разделяющимися переменными.
- •6. Однородные уравнения первого порядка.
- •6. Линейные уравнения.
- •Согласно условию
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Основные понятия.
- •1.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •Основные понятия.
- •1.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
- •Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
- •1.5. Применение линейных дифференциальных уравнений к изучению колебательных явлений
- •1.6. Системы дифференциальных уравнений
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Кратные интегралы
- •2.1. Двойные интегралы
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле
- •2.4. Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов
- •Решение. Имеем
- •2. Вычисление площади. Как было установлено, площадь s области g может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле
- •Задачи к п. 2.1
- •Ответы к п. 2.1
- •2.2. Тройные интегралы
- •Задачи к п. 2.2
- •Ответы к п. 2.2
- •3. Криволинейные интегралы
- •3.1. Криволинейные интегралы Вычисление криволинейных интегралов
- •Таким образом, окончательно имеем
- •Пример 6. Вычислить интеграл где:
- •3.2. Формула Грина
- •3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •3.4. Интегрирование полных дифференциалов
- •Формула
- •Решение. В данном выражении функции
- •Решение. В данном случае функции
- •3.5. Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Поверхностные интегралы
- •4.1. Поверхностные интегралы. Вычисление поверхностных интегралов
- •4.2. Формула Остроградского
- •4.3. Формула Стокса
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Главление
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения............4
- •2. Кратные интегралы ……….……………....…………......63
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 3
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Ответы к п. 3
1. 2. 3. 4.
5. . 6. 7. 8. 1) 4; 2) 10/3; 3) 2. 9. 1) 8; 2) 4. 10. 8. 11. 2. 12. 2. 13. . 14. 8. 15. 4/3. 16. 2/3. 17. 18. 19. 221/15. 20. . 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 2/3. 30. 0. 31. , где - коэффициент пропорциональности. 32. . 33.
4. Поверхностные интегралы
4.1. Поверхностные интегралы. Вычисление поверхностных интегралов
В этом параграфе будут рассмотрены интегралы от функций, заданных на поверхности, так называемые поверхностные интегралы.
Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. Различают поверхностные интегралы первого и второго рода.
1. Определение поверхностного интеграла первого рода. Пусть в точках некоторой поверхности S гладкой или кусочно-гладкой определена ограниченная функция . Разобьем поверхность S произвольно на п частей с площадями (рис. 42). Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку составим сумму
(4.1)
Сумма (4.1) называется интегральной суммой для функции f (М) по поверхности S. Обозначим через наибольший из диаметров частей поверхности.
Определение. Если интегральная сумма (4.1) при имеет предел, равный I, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности S и обозначается одним из следующих символов: В этом случае функция называется интегрируемой по поверхности S, а S областью интегрирования.
Рис.31
Рис. 32
Рис. 42 Рис. 43
Данное определение по сути аналогично определению двойного интеграла. Поэтому свойства двойных интегралов и условия их существования без особых изменений переносятся на поверхностные интегралы.
В частности, если на поверхности S, то где s площадь поверхности S, т.е. с помощью поверхностного интеграла первого рода можно вычислять площади поверхностей.
Кроме того, с их помощью можно определять массы, статические моменты, моменты инерции, координаты центра масс и подобные величины для материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения масс. Эти задачи решаются аналогично соответствующим задачам для случая материальной кривой, материальной плоской и пространственной области.
2. Вычисление поверхностных интегралов первого рода. Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сведением поверхностного интеграла к двойному.
Пусть поверхность S задана уравнением , где функция вместе с производными и непрерывна в замкнутой области G — проекции S на плоскость Оху (рис. 43), и пусть функция непрерывна на поверхности S и, следовательно, интегрируема по этой поверхности. В этом случае справедлива формула
выражающая поверхностный интеграл первого рода через двойной по проекции поверхности S на плоскость Оху.
Аналогично получаются формулы, выражающие интеграл по поверхности S через двойные по ее проекциям на плоскости Оуz и Охz.
П ример 1. Вычислить интеграл где S часть параболоида вращения отсеченного плоскостью (рис. 44).
Решение. Поверхность S, заданная уравнением проектируется на плоскость Оху в область G, ограниченную окружностью (уравнение окружности получается из уравнения параболоида при ). Следовательно, областью G является круг В этом круге функции непрерывны. По формуле (4.2) получаем
Переходя в полученном двойном интеграле к полярным координатам , находим
3. Определение поверхностного интеграла второго рода. Введем предварительно понятие стороны поверхности.
Возьмем на гладкой поверхности S произвольную точку М и проведем через нее нормаль к поверхности (вектор ). Рассмотрим теперь на поверхности S какой-либо замкнутый контур, проходящий через точку М и не имеющий общих точек с границей поверхности S. Будем перемещать точку М по замкнутому контуру вместе с вектором так, чтобы вектор все время оставался нормальным к S и чтобы его направление менялось при этом перемещении непрерывно (рис. 45). В начальное положение точка М вернется либо с тем же направлением нормали, либо с противоположным.
Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему ее границы, при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности, то поверхность называется двусторонней.
Примерами двусторонних поверхностей служат плоскость, сфера, любая поверхность, заданная уравнением где и функции, непрерывные в некоторой области G плоскости Оху.
Если же на поверхности S существует замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное, то поверхность называется односторонней.
Простейшим примером односторонней поверхности служит лист Мёбиуса, изображенный на рис. 46. Его можно получить, взяв полоску бумаги ABCD и склеив ее так, чтобы точка А совпала с точкой С, а точка В с точкой D, т. е. повернув перед склеиванием один из ее краев на 180°. При обходе листа Мёбиуса по его средней линии и возвращении в исходную точку направление нормали меняется на противоположное.
В дальнейшем рассматриваются только двусторонние поверхности. Для двусторонней поверхности совокупность всех ее точек с выбранным в них направлением нормали, изменяющимся непрерывно при переходе от точки к точке, называется стороной поверхности, а выбор определенной ее стороны ориентацией поверхности. Двустороннюю поверхность называют также ориентируемой, а одностороннюю неориентируемой.
С понятием стороны поверхности тесно связано понятие ориентации ее границы.
Пусть S ориентированная (сторона уже выбрана) поверхность, ограниченная контуром L, не имеющим точек самопересечения. Будем считать положительным направлением обхода контура L то, при движении по которому наблюдатель, расположенный так, что направление нормали совпадает с направлением от ног к голове, оставляет поверхность слева от себя (рис.47). Противоположное направление обхода называется отрицательным. Если изменить ориентацию поверхности, т. е. изменить направление нормали на противоположное, то положительное и отрицательное направления обхода контура L поменяются ролями.
Перейдем теперь к определению поверхностного интеграла второго рода. Пусть S гладкая поверхность, заданная уравнением , и ограниченная функция, определенная в точках поверхности S. Выберем одну из двух сторон поверхности, т. е. одно из двух возможных направлений нормали в точках поверхности (тем самым мы ориентировали поверхность). Если нормали составляют острые углы с осью Оz, то будем говорить, что выбрана верхняя сторона поверхности , если тупые углы, то нижняя сторона поверхности. Разобьем поверхность S произвольно на п частей и обозначим через проекцию i-й части поверхности на плоскость Оху. Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку , составим сумму
(4.3)
где , площадь взятая со знаком плюс, если выбрана верхняя сторона поверхности S, и со знаком минус, если выбрана нижняя сторона поверхности S (рис. 48). Сумма (4.3) называется интегральной суммой для функции . Обозначим через наибольший из диаметров частей поверхности S.
Определение. Если интегральная сумма (4.3) при имеет предел, равный I, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функции по выбранной стороне поверхности S и обозначается одним из следующих символов:
В этом случае функция называется интегрируемой по поверхности S по переменным х и у.
Аналогично определяется поверхностный интеграл второго рода по выбранной стороне поверхности S по переменным у и z (z и х) от функции ( ), которая определена на поверхности S:
Сумму
называют общим поверхностным интегралом второго рода и обозначают символом
(4.4)
Поверхностный интеграл второго рода обладает такими же свойствами, как и поверхностный интеграл первого рода, но в отличие от последнего при изменении стороны поверхности (переориентации) он меняет знак.
К понятию поверхностного интеграла второго рода приводит, например, задача о потоке векторного поля, которая будет рассмотрена в дальнейшем.
Для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится.
4. Вычисление поверхностных интегралов второго рода. Поверхностные интегралы второго рода вычисляют сведением их к двойным интегралам. Пусть ориентированная (выберем верхнюю сторону) гладкая поверхность S задана уравнением где функция определена в замкнутой области G проекции поверхности S на плоскость Оху, а непрерывная функция на поверхности S .
Формула, выражающая поверхностный интеграл второго рода по переменным х и у через двойной, имеет вид
(4.5)
Кроме того, формула (4.5) доказывает существование поверхностного интеграла от функции , непрерывной на рассматриваемой поверхности S. Если выбрать нижнюю сторону поверхности, то перед интегралом в правой части (4.5) появится знак минус. Аналогично устанавливается справедливость следующих формул:
(4.6)
(4.7)
где поверхность S задана соответственно уравнением и а и проекции поверхности S соответственно на плоскости Оуz и Охz.
Для вычисления интеграла общего вида (4.4) используют те же формулы (4.5) (4.7), если поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости. В более сложных случаях поверхность S разбивают на части, обладающие указанными свойствами, а интеграл (4.4) на сумму интегралов по этим частям.
П ример 2. Вычислить интеграл где S верхняя сторона поверхности отсеченная плоскостями (рис. 49).
Решение. Проекцией G данной поверхности на плоскость Оху является прямоугольник, определяемый неравенствами . По формуле (4.5) находим
Пример 3. Вычислить интеграл где S верхняя сторона части плоскости , отсеченная плоскостями и лежащая в первом октанте (рис. 50).
Решение. По определению,
З десь и проекции поверхности S на плоскости Оуz и Оху, а так как плоскость S параллельна оси Оу. По формулам (4.5) и (4.6) соответственно находим
Следовательно,
5. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода. Поверхностные интегралы второго рода можно ввести и другим способом, а именно как поверхностные интегралы первого рода, в которых под знаком интеграла стоят некоторые специальные выражения. Обозначим через направляющие косинусы нормали ориентированной поверхности в произвольной ее точке. Поверхностные интегралы второго рода различаются своим отношением к координатным плоскостям:
1) поверхностный интеграл второго рода для плоскости Оху от функции выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы:
(4.8)
2) поверхностный интеграл второго рода для плоскости Охz от функции выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы:
(4.9)
3) поверхностный интеграл второго рода для плоскости Оуz от функции выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы:
(4.10)
Суммируя формулы (4.8) (4.10), получаем формулу, выражающую поверхностный интеграл второго рода общего вида по выбранной стороне поверхности через поверхностный интеграл первого рода:
Если выбрать другую сторону поверхности, то направляющие косинусы нормали и изменят знак и, следовательно, изменит знак поверхностный интеграл второго рода.
Пример 4. Вычислить интеграл , где S внешняя сторона полусферы расположенной над плоскостью Оху, а острый угол между нормалью к поверхности S с осью Оz (рис. 51).
Р ешение. По формуле (4.8), связывающей поверхностные интегралы обоих типов, имеем
Проекцией G данной поверхности S на плоскость Оху является круг По формуле (4.5) получаем
Переходя к полярным координатам, находим