- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4. Правая и левая производные.
Определение. Правой (левой) производной функции в точке называется правый (левый) предел отношения при (при условии, что этот предел существует).
Обозначение:
.
Если функция имеет в точке производную, то она имеет в этой точке правую и левую производные, которые совпадают. Вместе с тем существуют функции, имеющие в данной точке правую и левую производные, но не имеющие производной в этой точке. Это, например, функция , которая имеет в точке правую производную, равную (при ), и левую производную, равную (при ), но не имеет в этой точке производной, так как
3.2. Дифференцируемость функции
1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде
, (3.1)
где А некоторое число, не зависящее от , a –
функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при
, т. е.
Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в той же точке.
Теорема 1. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Таким образом, для функций одной переменной дифференцируемость и существование производной понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.
2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
Теорема 2. Если функция дифференцируема в данной точке , то она и непрерывна в этой точке.
З а м е ч а н и е. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т.е. не иметь производной в этой точке. Примером такой функции служит функция , которая непрерывна в точке , но не имеет в этой точке производной, т.е. не является дифференцируемой.
Если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка (дифференцируема в каждой точке этого промежутка), то будем говорить, что функция дифференцируема на указанном промежутке.
3.3. Дифференциал функции
1. Определение и геометрический смысл дифференциала. Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. ее приращение у в этой точке можно записать в виде суммы двух слагаемых:
, где
Слагаемое является при бесконечно малой одного порядка с (при А 0), оно линейно относительно . Слагаемое при – бесконечно малая более высокого порядка, чем .
Таким образом, первое слагаемое (при А 0) является главной частью приращения функции .
Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно , часть приращения функции в этой точке:
. (3.2)
Если , то , и поэтому слагаемое уже не является главной частью приращения у, так как слагаемое , вообще говоря, отлично от нуля. Однако и в этом случае по определению полагаем дифференциал функции в точке равным , т.е. .
Учитывая, что , формулу (3.2) можно записать в виде
. (3.3)
Пусть . Тогда по формуле (3.3)
Поэтому дифференциалом независимой переменной х назовем приращение этой переменной . Соотношение (3.3) принимает теперь вид
. (3.4)
З
Рис.
51
Рис. 11
Дифференциал функции имеет следующий геометрический смысл. Пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента , точка Р значению аргумента , прямая MS касательная к графику в точке М, угол между касательной и осью Ох. Пусть, далее MN || Ox, PN || Оу , Q точка пересечения касательной MS с прямой PN (рис. 11). Тогда приращение функции равно величине отрезка NP. В то же время из прямоугольного треугольника MNQ получаем: , т.е. дифференциал функции равен величине отрезка NQ. Из геометрического рассмотрения видно, что величины отрезков NP и NQ различны. Таким образом, дифференциал функции в точке равен приращению «ординаты касательной» к графику этой функции в точке , а приращение функции y есть приращение «ординаты самой функции» в точке , соответствующее приращению аргумента, равному .
2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Из определения дифференциала следует, что он зависит линейно от и является главной частью приращения функции y. Само же y зависит от более сложно. Во многих задачах приращение функции в данной точке приближенно заменяют дифференциалом функции в этой точке: .
Пример. Покажем, что если мало, то можно использовать приближенную формулу
Решение. Рассмотрим функцию При малых х имеем
откуда, положив , х = , получим
В частности, при = 0.0003.