- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Задачи к п. 1
Написать первые пять членов последовательностей:
1. 1) 2) 3)
Какие из последовательностей являются ограниченными:
2. 1) 2) 3) 4)
5) 6) 7)
3. Известно, что Найти номер N, начиная с которого выполняется неравенство где
4. Доказать, что: 1) 2) 3) 4)
Установить, какие из заданных последовательностей являются бесконечно большими:
5. 1) 2) 3)
4)
Доказать, что последовательности являются бесконечно малыми:
1) 2) при . 3)
7. Доказать, что последовательность является бесконечно большой при и бесконечно малой при
Вычислить пределы:
8. 9. 10.
11. 12.
13.
Доказать монотонность последовательностей:
1) 2) 3) 4) 5)
15. Доказать, что последовательность сходится, и найти ее предел.
Ответы к п. 1
2. 1), 3), 5), 6). 3. 10, 100, 1000. 5. 1), 4). 8. 5/9. 9. 1/2. 10. 0. 11. . 12. 0. 13. 1/5.
(29)
2. Функции одной переменной
В средней школе начато изучение важнейшего понятия математического анализа – понятие функции. В этом разделе будет введено понятие предела функции, а также понятие непрерывности функции.
2.1. Классификация функций
Основными элементарными функциями называют следующие функции.
1) Показательная функция , , . На рис. 1 показаны графики показательных функций, соответствующие различным основаниям степени.
Рис. 1
2) Степенная функция , . Примеры графиков степенных функций, соответствующих различным показателям степени, предоставлены на рис. 2.
Рис. 2
3) Логарифмическая функция , , ; Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям, показаны на рис. 3.
Рис. 3
4) Тригонометрические функции , , , ; Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный на рис. 4.
Рис. 4
5) Обратные тригонометрические функции , , , . На рис. 5 показаны графики обратных тригонометрических функций.
Рис. 5
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией. Примерами элементарных функций могут служить функции
; ; .
Примерами неэлементарных функций могут служить функции
.
Имеет место следующая классификация элементарных функций.
1) Функция вида
, где – целое число, а0, а1, ..., аm – любые числа, называемые коэффициентами (а0 ≠ 0), называется целой рациональной функцией или алгебраическим многочленом степени т. Многочлен первой степени называется также линейной функцией.
2) Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций , называется дробно-рациональной функцией. Совокупность целых рациональных и дробно-рациональных функций образует класс рациональных функций.
3) Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями и не являющаяся рациональной, называется иррациональной функцией. Например,
и т. д. – иррациональные функции.
4) Всякая функция, не являющаяся рациональной или иррациональной, называется трансцендентной функцией. Это, например, функции , и т.д.