- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
Рассмотрим механический смысл частной производной.
В ряде разделов механики, физики и технических дисциплин читатель встречался с функциями нескольких переменных, одной из которых являлась временная переменная t. Например, изучая движение материальной системы, имеющей n степеней свободы, в теоретической механике в качестве характеристических функций, описывающих динамику системы, рассматриваются функции Лагранжа или Гамильтона , где - обобщенные координаты, - обобщенные скорости, - обобщенные импульсы, и V – кинетическая и потенциальная энергия системы. В этом случае, как известно из теоретической механики, уравнение движения механической системы содержит частную производную по времени
.
Другой пример знаком нам из теплотехники. Пусть в начальный момент времени задано распределение температуры тела и задан тепловой режим на его границах. Тогда при температура тела в точке будет являться функцией времени . Вид координатной и временной зависимости температуры тела определяется типом теплового режима на границах и дифференциальным уравнением теплопроводности, содержащим частную производную по времени
.
Таким образом, уравнения, описывающие механическое движение системы и распределение температуры в теле, содержат величины, характеризующие их изменение во времени. Каждая из величин в правых частях уравнений является пределом при соответствующих отношений
или
Каждое выражение представляет собой изменение соответствующей функции, отнесенное к промежутку времени, в течение которого эти изменения произошли. То есть среднюю скорость изменения величины за время . В пределе, при , мы получаем мгновенную скорость изменения функции Лагранжа или температуры. В этом заключается механический смысл частной производной некоторой функции по времени.
По аналогии с этим, частные производные функции по переменной также трактуются как скорость изменения функции в точке М в направлении оси .
Перейдем к выяснению геометрического смысла частных производных функции двух переменных . Как мы знаем из п.4.2, графиком такой функции является некоторая поверхность в трехмерном пространстве. Фиксируя аргумент , мы получим плоскую кривую , представляющую собой сечение поверхности плоскостью, параллельной координатной плоскости . Пусть - касательная к кривой в точке , , - угол, образованный этой касательной с положительным направлением оси .
Поскольку по определению частной производной
,
то на основании геометрического смысла производной функции одной переменной, заключаем (рис. 50)
.
z
y
B
x
lx
A
Рис. 50
Аналогично, если есть сечение поверхности плоскостью , - угол, образованный с осью касательной к кривой в точке , то
.
3. Дополнительный материал.
В отличие от функций одной переменной, из существования частных производных в некоторой точке, вообще говоря, не вытекает непрерывность функции многих переменных в этой точке. Рассмотрим, например, функцию
Мы убедились (см.п.5.4), что эта функция не является непрерывной в точке . Однако эта функция всюду (включая точку ) имеет частные производные. Действительно, имеем в точке :
В остальных точках плоскости существование производных очевидно.
Но если частные производные существуют и ограничены, то функция будет непрерывной. Это свойство выражается следующим утверждением.
Теорема. Если функция имеет частные производные по х и по у всюду в области D и эти производные всюду удовлетворяют неравенствам
, ,
где М - постоянная, то функция непрерывна в области D.
Замечание.Данное выше понятие частных производных - формулы (5.11) и (5.12), пригодно для внутренних точек области. Но для граничных точек этой области, вообще говоря, непригодно. Это связано с тем, что в граничных точках области задания функции (рис.51) не всегда можно вычислить частные приращения функции. В связи с этим принято определять частные производные функций в граничных точках области определения как пределы производных при стремлении точек к границе.
y
x
Рис. 51