- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.2. Предел функции
1. Предел функции при . Пусть функция определена на некотором множестве Х и пусть точка или . Возьмем из Х последовательность точек, отличных от :
, , , …, , …, (2.1)
сходящуюся к х0 (предполагается, что такая последовательность существует). Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
, , , …, , …, (2.2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.
Определение 1. Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любой сходящейся к х0 последовательности (2.1) значений аргумента х, отличных от , соответствующая после-довательность (2.2) значений функции сходится к числу А.
Символически это записывается так: .
Функция может иметь в точке х0 только один предел. Это следует из того, что последовательность имеет только один предел.
Р а с с м о т р и м п р и м е р ы.
1. Функция имеет предел в каждой точке х0 числовой прямой. В самом деле, если (2.1) – любая последовательность, сходящаяся к , то последовательность (8.2) имеет вид С, …, С, ..., С, ..., т.е. . Отсюда заключаем, что при n → ∞ или .
2. Функция имеет в любой точке х0 числовой прямой предел, равный . В этом случае последовательности (2.1) и (2.2) тождественны, т.е. . Следовательно, если , то при или .
3. Функция (рис. 6), определенная для всех , в точке не имеет предела. Действительно, возьмем две последовательности значений аргумента х: 1/π , 1/(2π), 1/(3π), ..., 1/(пπ), ... и 2/π, 2/(5π), 2/(9π) ..., 2/[(4п3)π], ... сходящиеся к нулю. Для них соответствующими последовательностями значений функции являются:
и
.
Р ис. 6
Так как при любом п
, a
то для первой последовательности , а для второй последовательности .
Таким образом, для двух сходящихся к нулю последовательностей значений аргумента х соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы. А это по определению предела функции и означает, что не существует.
(29)
Таким образом, существует , и так как он не зависит от выбора последовательности {хп}, сходящейся к нулю, то на основании определения предела функции заключаем, что
(29)
Существует другое определение предела функции.
Определение 2. Число А называется пределом функции в точке , если для любого числа существует число такое, что для всех , , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Используя логические символы, определение 2 можно записать в виде
Отметим, что неравенства , можно записать в виде .
Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке ».
Теорема 1. Первое и второе определения предела функции эквивалентны.
2. Предел функции при х → х0 – и при х → х0 +. В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.
Определение 3. Число А называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности (2.1), элементы хп которой больше (меньше) , соответствующая последовательность (2.2) сходится к А.
Символическая запись:
.
В качестве примера рассмотрим функцию
Она имеет в точке правый и левый пределы:
В самом деле, если (2.1) – любая сходящаяся к нулю последовательность значений аргумента этой функции, элементы которой больше нуля ( ), то и . Следовательно, . Аналогично устанавливается, что .
Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке »: число А называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любого существует такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенcтво . Символическая запись:
Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.
Теорема 2. Функция имеет в точке предел только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
3. Предел функции при х→ ∞, при х→ ∞ и при х→ + ∞. Кроме рассмотренных понятий предела функции при и односторонних пределов существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение 4. Число А называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности (2.1) значений аргумента соответствующая последовательность (2.2) значений функции сходится к А.
Символическая запись: .
Определение 5. Число А называется пределом функции при ( ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.
Символическая запись:
Р а с с м о т р и м п р и м е р. Пусть . Эта функция имеет предел, при равный нулю. Действительно, если бесконечно большая последовательность значений аргумента, то соответствующая последовательность значений функции: является бесконечно малой и поэтому имеет предел, равный нулю, т.е. .
Определения 4 5 даны «на языке последовательностей». Можно дать равносильные определения «на языке » и записать их с помощью логических символов. В качестве примера сформулируем определение предела функции при .
Определение 6. Число А называется пределом функции при , если для любого числа существует число такое, что для всех хХ, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .