- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3. Бесконечно малые функции.
Функция называется бесконечно малой при (или в точке ), если .
Используя определение предела функции в форме Коши (определение 2), можно придать определению бесконечно малой функции более содержательную форму.
Определение. (в форме Коши). Функция называется бесконечно малой, если, каково бы ни было малое положительное число , существует соответствующее ему число такое, что для любой точки М из области определения функции, удовлетворяющей условию , абсолютная величина значений функции будет меньше : .
Следующая теорема устанавливает связь между предельным значением функции и бесконечно малой в окрестности предельной точки.
Теорема 3. Если функция представляется в виде , где – постоянная, – бесконечно малая функция при , то .
Обратно, если , то , где – бесконечно малая функция при .
Доказательство. Прямое утверждение.
Пусть функция может быть представлена в виде , где – постоянная, - бесконечно малая при . Отсюда имеем: , т.е. . При , так как – бесконечно малая функция, – любое сколь угодно малое число. Поэтому существует такая – окрестность точки , что для всех точек М из этой окрестности . Поэтому .
Обратное утверждение. Пусть . Это значит, что при всяком существует – окрестность точки , для всех точек М из которой . Обозначим . Тогда . Но последнее и означает, что – бесконечно малая функция при . Таким образом: .
Бесконечно большая функция. Будем писать , если функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и для всякого найдется такое, что , как только , для всех точек М, принадлежащих - окрестности точки .
4. Повторные пределы*. Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предела.
Рассмотрим для простоты функцию двух переменных.
Пусть функция задана в некоторой прямоугольной окрестности точки , , за исключением, быть может, самой точки . Пусть для каждого фиксированного , удовлетворяющего условию , существует предел функции одной переменной в точке :
.
Пусть, кроме того, существует предел b функции в точке
.
В этом случае говорят, что существует повторный предел b для функции в точке , который обозначается следующим образом:
.
______________________________________________________
*) Этот раздел предназначен для самостоятельного изучения.
Другой повторный предел получится, если вначале устремить , т.е. при фиксированном x, удовлетворяющим условию , получить предел
,
а затем при получить повторный предел
.
Замечание. Не следует думать, что числа b и B обязательно совпадают, они могут и отличаться друг от друга.
Пример 6. Вычислить повторные пределы при , от функции
.
Решение. 1) Вычислим повторный предел . Имеем:
;
.
2) Вычислим повторный предел .
;
.
Таким образом, для данной функции повторные пределы не совпадают: .
Пример 7. Вычислить повторные пределы функции
в точке (см. пример 1).
Решение. 1) Вычислим повторный предел . Имеем:
; .
2) Вычислим повторный предел . Получим
; .
Таким образом, для данной функции повторные пределы оказались равными. Однако, в примере 1 показано, что предел этой функции в точке не существует. На основании этого результата можно сделать вывод: из существования и равенства повторных пределов функции в данной точке не следует существования предела функции в этой точке.
Из результата решения примера 6 следует, что, вообще говоря, нельзя допускать перестановку предельных переходов в повторных пределах.
Следующая теорема устанавливает достаточные условия равенства двух введенных повторных пределов.
Теорема 4. Пусть функция определена в некоторой прямоугольной окрестности , точки и имеет в этой точке предел, равный b. Пусть, кроме того, для любого фиксированного х, удовлетворяющего условию , существует предел и для любого фиксированного , , существует предел .
Тогда повторные пределы и существуют и оба равны .
Доказательство. Так как функция имеет в точке предел, равный b, то для любого можно указать такое , что при и выполняется неравенство . То есть в прямоугольной окрестности , точки значения функции отличаются от числа b не более чем на . Но тогда пределы функций и , указанные в условии теоремы при х и у, удовлетворяющих неравенствам и , так же отличаются от числа b не более чем на .
Следовательно, пределы этих функций в точках и соответственно существуют и равны этому числу b. Теорема доказана.