- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
или ,
которые означают, что элемент находится в -окрестности точки а, точнее, существует номер N такой, что все элементы с номерами находятся в этой ε-окрестности.
2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.
З а м е ч а н и е. Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся.
Теорема 3. Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей и .
Теорема 4. Произведение двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .
Теорема 5. Частное двух сходящихся последовательно-стей и при условии, что предел отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .
Пример. Найти
Решение. При числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, следовательно, применить теорему о пределе частного нельзя, так как в условии этой теоремы предполагается существование конечных пределов. Поэтому сначала преобразуем данную последовательность, разделив числитель и знаменатель на . Затем, применяя теоремы о пределе частного и о пределе суммы, найдем
Теорема 6 (предельный переход в неравенствах). Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству
С л е д с т в и е. Если элементы сходящихся последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству то их пределы удовлетворяют неравенству
З а м е ч а н и е. Из строгого неравенства вообще говоря, не вытекает строгое же неравенство а только, по-прежнему, вытекает нестрогое
Теорема 7 (предел промежуточной переменной). Пусть даны три последовательности , и , причем для всех n, и пусть последовательности и имеют один и тот же предел а. Тогда последовательность также имеет предел а.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Определение 1. Последовательность , имеющая предел, равный нулю, называется бесконечно малой.
Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы
для всех n, и пусть последовательности и имеют один и тот же предел а. Тогда последовательность также имеет предел а.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Определение 1. Последовательность , имеющая предел, равный нулю, называется бесконечно малой.
Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы
, Где есть бесконечно малая.
Определение 2. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при выполняется неравенство При этом пишут
(1.3)
Символическая запись определения бесконечно большой последовательности:
Если бесконечно большая последовательность , начиная с некоторого номера, принимает только положительные или только отрицательные значения, то пишут
(1.4)
или соответственно
(1.5)
Таким образом, из (1.4), так же как и из (1.5), следует (1.3). Пример последовательности показывает, что может иметь место соотношение (1.3), в то время как не имеет места ни (1.4), ни (1.5).
Теорема 8. Если бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность бесконечно малая, и обратно, если бесконечно малая последовательность и , то последовательность бесконечно большая.
Теорема 9. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности.
Теорема 10. Произведение ограниченной последовате-льности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.