3750
.pdf
|
Решение. Очевидно, что |
z0 1 |
является особой точкой |
||||||||||||||||||||||
функции f |
z |
. Используя разложение |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
cos |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2! |
|
4! |
|
|
|
6! |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и полагая |
|
1 |
|
|
, получим лорановское разложение функции |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
z |
1 |
|||||||||||||||||||||||
f z |
в окрестности точки z0 1: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
f |
z |
z |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2! z 1 |
2 |
|
|
4! z 1 4 6! z 1 6 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 z 1 |
|
4! z 1 3 |
|
6! z 1 5 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда видно, что главная часть ряда Лорана содержит бесконечно много членов. Следовательно, точка z0 1 является су-
щественно особой точкой функции f z .
101
ГЛАВА 5 ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
|
5.1. Вычеты. Вычисление контурных интегралов |
|||||||||||||
|
Пусть точка z0 |
есть изолированная особая точка функ- |
||||||||||||
ции |
f |
z |
. |
Вычетом функции |
f |
z в точке z0 |
называется |
|||||||
число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
res |
f |
z |
=res f z0 |
res f |
z |
, z0 |
1 |
|
|
|
|
|
f z dz , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 i |
|
|
|
|
||||||||||
z |
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
z z |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
z |
z0 |
|
– окружность с центром в точке z0 |
достаточно |
малого радиуса такого, чтобы окружность не выходила за пре-
делы области аналитичности функции |
f |
z |
и не содержала |
||||||||||||||
внутри других особых точек функции |
f |
z |
. Обход контура |
||||||||||||||
производится против часовой стрелки. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Если функция |
f z |
разложена в сходящийся ряд Лорана |
|||||||||||||||
в окрестности точки z0 , то вычет равен |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
res |
f |
z |
, z0 |
c 1 , |
|
|
|
|
(5.1) |
||||
т.е. коэффициенту при степени n |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если функция |
f z |
аналитична в точке z0 |
или если z0 |
– |
|||||||||||||
устранимая |
особая |
точка |
для |
f |
z , |
то |
res |
f |
z |
, z0 |
0 . |
||||||
Если z0 |
– полюс 1-го порядка для функции f |
z |
, то |
|
|||||||||||||
|
res |
f |
z , z0 |
|
|
lim |
f |
z |
z |
z0 |
, |
|
(5.2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если при этом f |
z |
|
z |
, где функции |
|
z |
и |
|
z – ана- |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
литические в точке z0 , |
z0 |
|
0 , |
|
z0 |
|
0 , |
|
z0 |
|
0 , то |
|
102
|
|
res |
|
f z |
, z0 |
|
z0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3) |
||||||||||||
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если точка z0 |
– полюс k -го порядка |
k |
1 |
|
для функции |
|||||||||||||||||||||||||
f |
z , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
res f z |
, z0 |
|
|
lim |
f |
z |
z |
z0 |
|
. |
|
(5.4) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k 1 ! z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Если точка z0 |
есть существенно особая точка функции |
|||||||||||||||||||||||||||||
f |
z , то для нахождения |
res f z0 |
необходимо найти коэф- |
||||||||||||||||||||||||||||
фициент c 1 в лорановском разложении функции |
f z |
|
в ок- |
||||||||||||||||||||||||||||
рестности точки z0 : это и будет res f |
z0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Пример 1. Найти вычеты функции |
f |
z |
|
|
sin z2 |
|
|
в ее |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
z2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
особых точках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Особыми точками функции |
f |
z |
|
|
|
|
|
sin z2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z3 |
|
|
|
z2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
являются нули знаменателя, т.е. точки z1 |
0 и z2 |
|
4 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
В точке z1 |
0 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
lim f z |
lim |
|
sin z2 |
|
|
|
|
|
|
lim |
sin z2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
z 0 |
z 0 z2 z |
|
|
4 |
|
|
|
4 z 0 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Следовательно, |
точка |
|
z1 |
0 |
|
есть |
устранимая |
особая |
точка |
||||||||||||||||||||||
функции f z . Поэтому res f |
0 |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
В точке z2 |
|
4 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
f |
z |
sin z2 |
z |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Следовательно, |
точка |
|
z2 |
|
4 есть полюс первого порядка. |
||||||||||||||||||||||||||
Согласно формуле (5.2) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
res f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f |
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Пример 2. Найти вычеты функции |
|
|
f |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
1 3 z 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в ее особых точках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Решение. |
Особыми |
точками |
|
функции |
|
f |
|
z |
|
|
|
являются |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки |
z1 |
|
1 |
|
и |
z2 |
2 . |
|
Точка |
z1 |
1 |
|
|
|
является |
|
|
|
полюсом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
третьего порядка. Согласно формуле (5.4) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
e |
z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
z |
z |
2 |
|
|
|
|
e |
z |
|
|
|
||||||||||||
|
res f |
|
1 |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2! z |
|
1 dz2 |
|
|
|
z 2 |
|
2 z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
ez z 2 ez ez |
|
|
z 2 2 |
|
2 z 2 ez z 2 ez |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
6z |
10 ez |
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 z |
|
1 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Точка |
z2 |
|
2 – |
полюс первого порядка, поэтому по формуле |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(5.2) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
res f |
2 |
|
|
|
|
lim f |
|
z |
|
z |
2 |
|
lim |
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
e3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Пример 3. Найти вычеты функции |
f |
|
z |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
в ее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z4 |
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
особых точках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Решение. Особыми точками функции |
f |
|
z |
|
являются ну- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ли знаменателя, т.е. корни уравнения z4 |
|
|
|
1. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
3 |
|
|
|
|
|
|
i |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
z |
|
e 4 |
, |
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
e |
4 |
, |
|
|
z |
e |
4 , |
|
|
|
|
z |
4 |
|
|
e |
4 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь формулой (5.3), получим
104
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
res f |
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
i |
, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4z3 |
|
|
|
|
|
|
|
ei |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
1 |
|
|
ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
res f |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
4 |
|
1 |
i |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
1 |
|
|
i |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
ei |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||
|
res f |
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
i |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4z3 |
|
|
|
e i |
|
|
|
|
|
4 |
|
8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
e |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i . |
||||||||||||||||||||
|
res f |
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4z3 |
|
|
|
|
|
e i |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
1 |
|
|
e i |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 sin |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Пример 4. Найти вычет функции |
|
f |
|
|
z |
|
|
|
|
|
в ее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
особой точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решение. Особой точкой функции |
|
f |
|
|
z |
|
|
|
является точка |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z0 |
0 . Лорановское разложение функции в окрестности точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z0 |
0 имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
z3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
z2 |
|
|
3!z6 |
|
5!z10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3!z3 |
|
|
|
5!z7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. содержит бесконечное число слагаемых в главной части, поэтому особая точка z0 0 является существенно особой
точкой. Вычет функции в точке z0 0 равен нулю, так как коэффициент c 1 в лорановском разложении f z равен нулю.
105
|
Пример 5. |
Найти вычет функции f |
z |
|
|
sin 3z |
3sin z |
в |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
sin z |
z |
sin z |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
ее особой точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Особой точкой функции |
f |
z |
|
является точка |
||||
z0 |
0 . Эта |
точка является нулем |
|
как |
числителя |
||||
z |
sin 3z 3sin z , так и знаменателя |
|
z |
|
sin z |
z sin z . |
Определим порядки нуля для этих функций, используя разло-
жение в ряд Тейлора sin z в окрестности точки z0 |
0 . Имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
sin 3z |
|
3sin z |
3z |
|
33 z3 |
|
|
|
|
|
35 z5 |
|
|
37 z7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
z |
|
z3 |
|
z5 |
|
|
z7 |
|
|
|
|
|
|
|
33 |
3 |
z |
3 |
|
|
|
|
|
35 |
3 |
z |
5 |
|
|
|
z |
3 |
|
z , |
|||||||||||||
3! |
|
5! |
|
7! |
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
где |
|
z |
|
33 |
3 |
|
|
35 |
3 |
z |
2 |
|
37 |
|
|
|
|
3 |
z |
4 |
|
, |
|
1 0 |
|
|
4 |
0 ; |
||||||||||||||||||||
1 |
|
3! |
|
|
51 |
|
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
z |
sin z |
z |
sin z |
|
|
|
z3 |
|
|
|
|
z5 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
z3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
z4 |
1 |
|
|
z2 |
|
|
z4 |
|
|
|
1 |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
z4 |
|
|
|
|
|
|
z4 |
1 z |
, |
|
|||||||||||||||
|
|
3! |
|
5! |
|
|
7! |
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
где |
1 |
0 |
|
1 6 . Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
f |
z |
|
|
sin 3z |
3sin z |
|
|
|
|
|
z3 |
1 |
|
|
z |
|
|
|
|
1 |
z |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin z |
z |
sin z |
|
|
|
|
z4 |
1 |
|
z |
|
|
|
z |
1 |
z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
и так как 1 |
0 |
|
|
0 , |
|
1 |
0 |
|
|
0 , |
то точка |
z0 |
|
0 |
является про- |
стым полюсом данной функции, поэтому ее вычет в точке z0 0 находим по формуле (5.2)
res |
sin 3z |
3sin z |
lim |
1 |
z |
z |
1 |
0 |
4 |
24 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z 0 |
sin z |
z sin z |
z 0 z 1 |
z |
|
1 |
0 |
1 6 |
|
106
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 z |
|||
|
Пример 6. Найти вычеты функции |
f z |
|
|
|
|
в ее осо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
z |
|||
бых точках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. Особыми точками данной функции являются |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки z1 1 и z2 |
|
|
|
0 . Очевидно, что точка z1 |
1 – простой по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
люс, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
res f |
z |
|
|
|
|
|
|
e1 z |
|
|
|
|
|
|
e1 z |
|
|
|
|
|
e1 . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
z |
z |
1 |
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для |
установления характера особой точки z2 |
0 разложим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функцию в ряд Лорана в окрестности этой точки. Имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e1 z |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
z |
|
2!z2 |
|
|
3!z3 4!z4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
z |
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
z3 |
|
|
z4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Перемножая эти ряды, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
f |
z |
|
e1 z |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
z |
z2 |
z3 |
|||||||||||||||||
1 z |
|
|
z 2!z2 |
|
|
3!z3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правильная часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
c 3 |
|
||||||||||
|
|
2! |
3! |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
2! |
|
|
3! |
|
4! |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
z3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как главная часть ряда Лорана содержит бесконечное множество членов с отрицательными степенями z , то точка z2 0 является существенно особой точкой данной функции. Ее вы-
чет в точке z2 |
0 равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
res f z c 1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
e 1. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
2! |
3! |
|
|
|||||||
z |
0 |
|
|
|
|
|
||||
Пример 7. Найти вычеты функции |
f z |
|
z |
|
||||||
|
|
|
||||||||
|
z 1 z 2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ее особых точках.
107
Решение. Функция имеет две особые точки: z1 1 – про-
стой полюс и z2 |
2 |
– полюс кратности 2. В случае простого |
||||||||||||
полюса вычет вычисляется по формуле (5.2): |
|
|
|
|
|
|||||||||
res f 1 |
lim f z |
z 1 |
lim |
|
|
z |
|
|
1 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
z 1 |
|
|
z 1 |
z |
|
|
|
|
||||
В случае полюса |
z2 |
2 вычет вычисляется по формуле (5.4). |
||||||||||||
Для z2 2 и k |
2 получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
res f z |
, 2 |
lim |
|
z |
lim |
|
|
1 |
|
1. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|||||||
|
|
z 2 z |
1 |
z |
2 |
|
z |
|
|
|
||||
Пример 8. Найти вычет функции |
f |
z |
|
cos z sin |
1 |
в ее |
||||||||
|
z |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
особой точке.
Решение. Особой точкой функции f z является точка z0 0 . Для установления характера особой точки разложим функцию в ряд Лорана в окрестности этой точки. Имеем
|
|
|
|
cos z |
1 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
z4 |
|
|
z6 |
|
, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
4! |
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
z |
|
z |
|
|
3!z3 |
|
5!z5 |
|
|
7!z7 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Перемножая эти ряды, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
f |
z cos z sin |
|
1 |
|
|
|
|
правильная часть |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! 3! |
4! 5! |
|
|
|
z |
0! 3! |
|
|
2! 5! |
|
4! 7! |
z3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное множество
членов, а значит, точка |
z0 |
0 – существенно особая |
точка |
||||||||||
данной функции. Искомый вычет равен |
|
|
|
|
|||||||||
res |
cos z sin |
1 |
c 1 1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z 0 |
|
z |
|
2! 3! 4! 5! |
n 0 2n ! 2n 1 ! |
108
|
Пример 9. Найти вычет функции |
|
f |
z |
|
z2 sin |
1 |
|
в ее |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
особой точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. Особой точкой функции f |
|
z |
|
является точка |
|||||||||||||||||||||||||
z0 |
1. Для установления характера особой точки разложим |
|||||||||||||||||||||||||||||
функцию в ряд Лорана в окрестности этой точки. Имеем |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 |
|
|
|
z 1 1 2 |
z 1 2 |
2 z 1 1, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
sin |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z |
|
1 z |
1 |
3! z |
1 3 5! z |
1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Перемножая эти ряды, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f |
z z2 sin |
|
1 |
|
|
|
z |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
z |
|
1 |
3! |
|
z |
1 |
3! z |
1 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд Лорана содержит бесконечное множество членов с отрицательными степенями z 1 . Следовательно, точка z0 1 яв-
ляется существенно особой точкой данной функции и ее вычет в этой точке равен
|
res |
z2 sin |
1 |
|
|
c |
|
1 |
1 |
|
|
5 |
. |
|
|
|
z 1 |
|
1 |
3! |
6 |
|
|
||||||||
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пример 10. Найти вычет функции |
f |
z |
1 z2 |
cos z в ее |
||||||||||
|
e |
||||||||||||||
особой точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Особой точкой функции |
f |
z |
является точка |
|||||||||||
z0 |
0 . Так как вычет в точке |
z0 |
0 равен коэффициенту при |
||||||||||||
z |
1 , то получаем, что в данном случае этот вычет равен нулю, |
||||||||||||||
поскольку функция |
f z |
1 z2 |
cos z – четная и ее разложение |
||||||||||||
e |
|
||||||||||||||
в окрестности точки z0 |
0 не может содержать нечетных сте- |
||||||||||||||
пеней z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Коши о вычетах (Основная теорема о выче-
тах). Пусть функция f z – аналитическая в односвязной об-
109
ласти |
D за исключением некоторых изолированных особых |
|||||||||||||||||||||||
точек; |
C – простая замкнутая кривая, целиком лежащая в D и |
|||||||||||||||||||||||
не проходящая через особые точки функции f z |
|
. Тогда |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
dz |
2 |
i |
res |
f z , zk |
, |
|
|
|
|
|
(5.5) |
||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где z1 , |
z2 , |
, |
zn |
– особые точки функции |
f |
z |
, находящиеся |
|||||||||||||||||
внутри контура C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 11. Вычислить интеграл |
|
dz |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2i |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
Решим |
уравнение |
ez |
1. |
Получаем zn |
|||||||||||||||||||
i |
2 n . |
Подынтегральная |
функция |
f |
z |
|
1 |
|
имеет |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
ez |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
внутри круга |
|
z |
2i |
|
2 |
одну особую точку |
z0 |
|
|
|
i |
|
– полюс |
|||||||||||
первого порядка, так как |
ez |
1 |
ez |
|
0 при z |
|
|
|
i |
(рис. 5.1). |
||||||||||||||
Воспользуемся формулой (5.3). Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Res |
f |
z , |
i |
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
|
i |
|
1 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ez |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее воспользуемся основной теоремой о вычетах. Откуда получим согласно формуле (5.5)
|
|
|
dz |
|
2 iRes f z , i |
2 i . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ez |
|
||
z 2i |
|
2 |
1 |
|
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
110