3750
.pdfy |
|
| |
|
z |
|
- |
|
2 |
|
i |
|
|= |
|
z0=i |
2 |
y
|z |= 2
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
z0=1 |
2 |
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.1 |
|
|
|
|
|
Рис. 5.2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
Пример 12. Вычислить интеграл |
2z |
1 cos |
|
|
dz . |
|||||||||
z |
1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
Решение. Подынтегральная |
функция |
f z |
2z |
1 |
||||||||||
cos |
|
z |
|
имеет внутри круга |
|
z |
|
2 одну особую точку z0 |
1, |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
z |
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая является существенно особой (докажите!) (рис. 5.2).
Поэтому для вычисления вычета в точке z0 |
1 применим фор- |
|||||||||||||||||||||||||||
мулу (5.1). Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
cos |
|
|
z |
cos 1 |
1 |
|
|
cos1 cos |
|
1 |
|
|
|
|
sin1 sin |
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
z |
1 |
|
|
z |
1 |
z |
1 |
|
|
z |
1 |
|||||||||||||||||
cos1 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
sin1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2! z |
1 2 |
|
|
|
z |
1 |
|
|
3! z |
1 3 |
|
|
|||||||||||||||
Так как |
2z |
1 2 z |
1 |
1, |
то |
c 1 |
|
|
|
cos1 sin1 . |
Следова- |
|||||||||||||||||
тельно, согласно (5.5), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2z |
|
1 cos |
|
|
z |
|
dz |
2 |
ic 1 |
|
|
2 |
|
i |
cos1 |
sin1 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
z |
|
2 |
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111
|
Пример 13. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
ez |
1 |
dz . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z2 |
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. |
|
|
|
Подынтегральная |
функция |
|
f |
z |
|
|
ez |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
z |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
имеет две особые точки |
z1 |
0 |
|
и z2 |
|
|
1 . Они расположены |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
внутри круга |
|
|
z |
|
|
|
4 (рис. 5.3). По теореме Коши о вычетах |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
1 |
|
dz |
|
|
2 i |
res f |
0 |
|
|
|
|
|
res f |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
4 |
z2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Точка z1 |
0 есть устранимая особая точка функции |
f z |
, |
так |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
как |
lim |
|
ez |
1 |
|
|
|
1 , поэтому res f 0 |
0 |
|
. Так как e 1 |
1 |
0 , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z 0 z |
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z2 |
1 – полюс первого порядка, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
1 |
z 1 |
|
e 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
res f |
|
|
|
1 |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
ez |
1 |
dz |
2 |
|
i 1 |
e 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
4 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 14. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
tg z dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение. |
|
Подынтегральная функция f |
z |
|
|
sin z |
|
имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
особые точки |
zk |
|
|
|
|
|
|
k |
( k |
|
Z ). Внутрь круга |
|
z |
|
2 |
попа- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дают две особые точки |
z |
|
|
|
и |
|
z |
|
|
|
|
|
(рис. 5.4). Остальные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
особые точки лежат вне круга |
|
z |
|
2 и поэтому не учитывают- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ся. По теореме Коши о вычетах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112
|
|
|
|
|
|
sin z |
dz 2 |
i res f |
|
|
res f |
|
|
. |
|||||||
|
|
z |
|
2 cos z |
|
2 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 k |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Так как |
cos z |
|
|
|
|
sin z , |
а sin zk |
|
0 , |
то особые точки |
|||||||||||
функции |
f z |
являются простыми полюсами, поэтому |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
res f |
|
|
sin z |
|
|
|
1. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
cos z |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
Таким образом |
|
|
|
|
tg z dz |
2 i 1 |
1 |
|
4 i . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
y
|
|
|
/2 |
/2 |
/2 |
|
/2 |
|
-1 |
4 x |
|
|
2 |
x |
Рис. 5.3 |
Рис. 5.4 |
|
|
|
|
1 z2 |
||
Пример 15. Вычислить интеграл |
|
|
e |
|
dz . |
|
|
|
z2 |
|
|||
|
z i |
|
3 2 |
1 |
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
113
|
|
|
|
|
|
1 z2 |
||
|
|
|
Решение. Подынтегральная функция |
f z |
|
e |
|
имеет |
|
|
|
|
z2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
||
три |
|
особые точки z1 0 , z2 i и z3 |
i . Внутрь круга |
|||||
|
z i |
|
3 2 попадают две особые точки z1 |
0 и z2 |
|
i , а точка |
||
|
|
|
z3 |
i |
лежит вне круга (рис. 5.5). По теореме Коши о вычетах |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
dz |
2 |
i res f |
0 |
res f |
i . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
z i |
|
3 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как |
f z |
|
e |
|
|
|
и |
e1 i |
2 |
e 1 |
0 , то |
|
|
|
является |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z2 i |
|
||||||||||||||||
z |
|
i |
z i |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z2 |
|
|
e |
1 |
|
|||
простым полюсом, |
поэтому |
res f i |
|
e |
|
|
|
|
|
|
. Точка |
|||||||||||||
|
z2 |
1 |
|
|
|
2i |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z1 |
0 является существенно особой (докажите!). для нахожде- |
ния вычета в этой точке необходимо иметь лорановское разложение функции f z в окрестности точки z1 0 . Однако в
данном случае искать ряд Лорана нет необходимости: функция f z четная, и поэтому можно заранее сказать, что в ее лора-
новском разложении будут содержаться только четные степени
z . Так что c 1 |
0 и, следовательно, res f 0 0 . Таким обра- |
||||||||||
|
|
|
|
1 z2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
зом |
|
|
e |
|
dz 2 i |
e |
|
|
|
. |
|
|
3 2 z2 1 |
|
|
|
|||||||
|
z i |
|
|
2i |
|
e |
|||||
|
|
114
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-0,5 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Рис. 5.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.6 |
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 16. Вычислить интеграл |
|
|
1 |
sin |
1 |
dz . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 z 1 |
z |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
Подынтегральная |
функция |
f z |
|
1 |
|
sin |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
имеет две особые точки |
z1 |
1 |
|
|
и |
|
z2 |
|
|
|
0 . Они расположены |
||||||||||||||||||||||||||
внутри круга |
|
z |
|
2 (рис. 5.6). По теореме Коши о вычетах |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sin |
1 |
dz |
2 |
i |
|
|
res f |
1 |
|
res f |
0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
z |
|
2 z |
1 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Так как sin |
1 |
|
0 |
, то z |
|
1 – полюс первого порядка и |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
res f 1 |
|
z |
|
|
|
|
|
sin1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для установления характера особой точки z2 |
0 напишем ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лорана для функции |
f z |
|
|
|
1 |
|
|
sin |
|
1 |
|
в окрестности этой точ- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
z |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ки. Имеем
115
f |
z |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
sin |
1 |
|
|
|
|
1 |
z |
|
z2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
3!z3 |
5!z5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
c 2 |
|
|
|
|
c 3 |
|
|
|
|
|
|
правильная часть , |
||||||||||||||||
|
|
3! |
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
z2 |
|
|
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где |
c k |
0 ( k |
|
|
2, 3, |
|
|
). Так как ряд Лорана содержит беско- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нечное множество членов с отрицательными степенями |
z , то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точка z2 |
|
0 является существенно особой и |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
res |
|
|
z |
|
c 1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
sin1. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
sin |
1 |
dz |
2 |
|
i |
sin1 sin1 |
0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 z |
|
|
1 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5.2. Вычет функции относительно |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бесконечно удаленной точки |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Говорят, |
что функция |
|
f |
z |
|
аналитична |
в бесконечно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
удаленной точке z |
|
, если функция |
|
|
|
|
|
|
f |
|
1 |
|
аналитич- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на в точке |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Например, |
|
функция |
|
|
f |
|
z |
|
|
|
sin |
1 |
|
|
аналитична в |
точке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z |
, |
поскольку функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
1 |
|
|
sin |
аналитична в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть функция |
f |
|
z |
|
аналитична в некоторой окрестно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сти бесконечно удаленной точки (кроме самой точки z |
). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Точка |
z |
|
|
|
|
называется изолированной особой точкой функ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ции |
f |
z |
, если в некоторой окрестности этой точки нет других |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
особых точек функции |
f |
z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
116
Например, функция |
f z |
1 |
|
имеет в бесконечности |
||
|
|
|||||
sin z |
||||||
|
|
|
|
|||
неизолированную особенность: полюсы zk |
k этой функции |
|||||
накапливаются в бесконечности, если k |
|
. |
||||
Говорят, что z |
является устранимой особой точкой, |
полюсом или существенно особой точкой функции f z в за-
висимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не сущест-
вует lim f z .
z
Критерии типа бесконечно удаленной особой точки, связанные с разложением Лорана, изменяются по сравнению с критериями для конечных особых точек.
Теорема 1. Если z является устранимой особой точкой функции f z , то лорановское разложение f z в окре-
стности этой точки не содержит положительных степеней z ; если z – полюс, то это разложение содержит конечное число положительных степеней z ; в случае существенной особенности лорановское разложение содержит бесконечное число положительных степеней z .
При этом лорановским разложением функции f z в окрестности бесконечно удаленной точки будем называть разло-
жение функции |
f z |
в ряд Лорана, сходящееся всюду вне |
||||
круга достаточно большого радиуса |
R с центром в точке z 0 |
|||||
(кроме, быть может, самой точки z |
). |
|
||||
Пусть функция |
f z – аналитична в некоторой окрест- |
|||||
ности точки z |
(кроме, быть может, самой этой точки). Вы- |
|||||
четом функции f |
z в бесконечности называют величину |
|
||||
|
res f |
1 |
|
f z dz , |
(5.6) |
|
|
|
|
||||
|
2 i |
|||||
|
|
|
|
|
117
где |
|
– достаточно большая окружность |
|
z |
|
R , проходимая |
||||||||||||||||||||||
по часовой стрелке (так что окрестность точки |
|
|
z |
|
|
остается |
||||||||||||||||||||||
слева, как и в случае конечной точки z |
|
a ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Из этого определения следует, что вычет функции в бес- |
|||||||||||||||||||||||||
конечности равен коэффициенту при |
z 1 |
в лорановском раз- |
||||||||||||||||||||||||||
ложении |
f |
z в окрестности точки z |
, |
взятому с противо- |
||||||||||||||||||||||||
положным знаком: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
res f |
|
|
c 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.7) |
||||
|
|
|
Известные разложения функций |
|
ez , |
|
sin z , |
|
cos z , |
sh z , |
||||||||||||||||||
ch z |
можно рассматривать также как лорановские разложения |
|||||||||||||||||||||||||||
в окрестности точки z |
. Так как все эти разложения содер- |
|||||||||||||||||||||||||||
жат бесконечное множество положительных степеней |
z , |
то |
||||||||||||||||||||||||||
перечисленные функции имеют в точке z |
|
|
|
|
существенную |
|||||||||||||||||||||||
особенность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Пример 17. Определить характер бесконечно удаленной |
|||||||||||||||||||||||||
точки и найти вычет в этой точке z |
|
для следующих функ- |
||||||||||||||||||||||||||
ций: |
а) |
f |
z |
z3 |
4z2 2z |
5 |
, б) f |
|
z |
|
z sin |
1 |
, |
в) |
f |
z |
|
|||||||||||
|
|
|
z3 |
|
|
|
|
z |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z |
3 |
|
2 |
2z 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4z |
, г) f z |
z3e1 z , д) f z |
|
|
e |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Решение. а) Запишем функцию в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
f z |
|
|
z3 |
4z2 |
2z 5 |
1 |
|
4 2 5 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 |
|
|
|
z |
|
z2 |
|
z3 |
|
|
|
|
||||||||
Это выражение можно рассматривать как разложение |
f |
z |
в |
ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. Так
как lim f z 1, |
то точка z |
является устранимой особой |
|
z |
|
|
|
точкой. Здесь c 1 |
4 и, следовательно, res f |
c 1 4 . |
б) Разложим функцию в ряд по степеням z :
118
f z |
z sin |
1 |
|
z |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
. |
||||
z |
|
z |
|
3!z3 |
|
5!z5 |
3!z2 |
5!z4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Так как |
lim f |
|
z |
|
1, то точка z |
является устранимой осо- |
|||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бой точкой. Здесь c 1 |
|
|
1 |
и, следовательно, |
res f |
|
|
1 |
. |
||||||||||
6 |
|
6 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из этих примеров видно, что вычет аналитической функции относительно бесконечно удаленной устранимой особой точки, в отличие от конечной устранимой особой точки, может оказаться отличным от нуля.
в) Запишем функцию в виде
|
f z |
|
z3 4z2 |
2z |
5 |
|
|
z |
4 |
|
2 |
|
|
|
5 |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z2 |
|
|||||||||||
Это разложение содержит z |
в первой степени, поэтому особая |
|||||||||||||||||||||||||||||
точка z |
является простым полюсом. Здесь |
|
c 1 2 и, сле- |
|||||||||||||||||||||||||||
довательно, res f |
|
|
|
c 1 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г) Разложим функцию в ряд по степеням z : |
||||||||||||||||||||||||||||||
f z |
z3e1 z z3 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z |
2!z2 |
|
3!z3 |
|
4!z4 |
|
5!z5 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
z3 |
z2 |
|
|
|
z |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
6 |
|
|
4!z 5!z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это разложение содержит конечное число положительных сте-
пеней |
z . Максимальная степень равна 3, поэтому точка z |
|||||||||||||||
является полюсом третьего порядка. Здесь |
c 1 |
1 |
|
1 |
|
и, сле- |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
4! |
24 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
довательно, |
res f |
c 1 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) Разложим функцию в ряд по степеням z : |
|
|
|
|||||||||||||
f z |
|
ez |
|
1 |
1 z z2 z3 |
z4 |
1 |
|
1 z z2 |
z3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
z |
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
119
Это разложение содержит бесконечное число положительных
степеней z , поэтому точка z |
является существенно особой |
|||
точкой. Здесь c 1 |
1 и, следовательно, |
res f |
c 1 1 . |
|
Теорема 2. |
Если функция |
f z |
имеет в расширенной |
комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех ее вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю.
Так что, если |
a1 , |
a2 , |
, an – конечные особые точки |
||
функции f |
z , то |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
res f |
res f |
ak |
0 или |
res f |
res f ak (5.8) |
k |
1 |
|
|
k |
1 |
Последнее соотношение удобно использовать при вычислении некоторых интегралов.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
||
|
Пример 18. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
z4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Корни знаменателя подынтегральной функции |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z |
|
2 |
1 i |
, z |
|
2 |
1 i , z |
2 |
|
1 i |
, z |
|
2 |
1 i |
||||||
1 |
2 |
|
|
2 |
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
являются простыми полюсами, так как функцию можно запи-
сать в виде |
1 |
1 |
. Замечаем, |
|
|
|
|
||
1 z4 |
|
z z1 z z2 z z3 z z4 |
||
|
|
|
что все полюса z1, z2 , z3, z4 лежат внутри контура интегрирования на окружности z 1 (рис. 5.7). Поэтому по теореме Коши о вычетах имеем
|
|
dz |
|
4 |
|
|
2 i |
res f zk . |
|
|
|
|
||
|
2 1 z4 |
|||
z |
|
k 1 |
120